Геометрические преобразования графиков функции

пп 10. Теоретические Упражнения

ТУ ПП 10. №1.

Пользуясь стандартными символами, запишите определения четности, нечетности, периодичности, ограниченности и монотонности функций.

ТУ ПП 10. №2.

Приведите пример неограниченной функции, непрерывной на интервале.

РЕШЕНИЕ:

ТУ ПП 10. №3.

Справедливо ли утверждение о том, что непрерывная на функция достигает на нем своих точной верхней и точной нижней граней?

РЕШЕНИЕ:

Для , значения и - не достигаются на интервале .

нет

ТУ ПП 10. №4.

Покажите, что функция y = x² непрерывна в произвольной точке x₀ вещественной оси.

РЕШЕНИЕ:

Действительно, числовые значения f(x₀) = x₀² и f(x₀ + x) = (x₀ + x)² порождают приращение функции вида

y = (x₀ + x)² – x₀² = x₀² + 2x₀  x + x² – x₀² = 2x₀  x + x².

Используя 2-е определение непрерывности, имеем

Поскольку 2-е определение выполняется, функция непрерывна.

ТУ ПП 10. №5.

Покажите, что функция y = sin x непрерывна в произвольной точке x₀ вещественной оси.

РЕШЕНИЕ:

Действительно, числовые значения f(x₀) = sin x₀ и f(x₀+x) = sin(x₀+x) порождают приращение функции вида

y = sin(x₀ + x) - sinx₀ = 2sin(x/2)cos(x₀ + x/2).

В теории пределов было доказано, что поэтому Используя 2-е определение непрерывности, имеем:

Поскольку 2-е определение выполняется, функция непрерывна.

ТУ ПП 10. №6.

Докажите, что 2-е определение непрерывности равносильно 1-му определению.

РЕШЕНИЕ:

Используя арифметические свойства предела, получаем

По определению приращения x = x – x₀,

поэтому

и тем самым

Последнее равенство и означает 1-е определение непрерывности.

ТУ ПП 10. №7.

Покажите, что т.е. знак непрерывной в точке x₀ функции y = f(x) и знак предела перестановочны. Вычислите предел:

РЕШЕНИЕ:

поэтому 1-е определение непрерывности может быть записано в виде

Функция y = sinx непрерывна в любой точке, поэтому

пп 10. ФУНКЦИИ

п/п

Задание

Ответ

ПП 10. №1.

Укажите все номера целых чисел данного множества

1) , 2) , 3) ,

4) ,5) .

РЕШЕНИЕ:

1) = = = =

=49-2=47

2) =

3) для перевода периодической десятичной дроби в рациональную сделаем следующее: обозначим периодическую дробь через x, умножим ее на 100 и вычтем из полученного равенства исходное, тем самым получим

, = ,

4) = = = . 5) = .

1), 3), 5)

ПП 10. №2.

Найдите область определения и множество

значений функции .

ООФ находим из условия , .

ОЗФ находим из условий:

Допустимые значения параметра удовлетворяют неравенствам:

.

,

ПП 10. №3.

Изобразите график функции

РЕШЕНИЕ:

На полуинтервале [-1, 1) функция имеет вид смещенной параболы, ветви которой направлены вниз. Вне этого полуинтервала f(x) =  x  – 1, т.е. y =  x опущенный на 1 вниз стандартный график

ПП 10. №4.

Изобразите график функции

- знак ,

ПП 10. №5.

Функция Дирихле

- целая часть (наибольшее целое, не превосходящее )

,

;

эта функция может быть задана в виде

.

ПП 10. №6.

Найдите , если , . Вычислите .

; , значит, ; .

; .

ПП 10. №7.

Вычислите односторонние пределы функции в точке x= 1.

В точке x = 1 функция не определена, потому что знаменатель равен нулю. По определению модуля

Левый предел:

Правый предел:

Односторонние пределы конечны, но не равны друг другу, функция имеет в точке x = 1 разрыв 1-го рода.

ПП 10. №8.

Установите, какого рода разрыв в точке х = 0 имеет функция

РЕШЕНИЕ:

В теории пределов был доказан 1-й замечательный предел следствием которого является предел Стремление х0 произвольно, поэтому Тем самым доказано, что но в самой точке х₀ = 0 функция не определена. Следовательно, выполняется определение точки устранимого разрыва.

точка устранимого разрыва

ПП 10. №9.

Вычислите односторонние пределы .

РЕШЕНИЕ:

, . Функция имеет в точке x = 1 разрыв 2-го рода.

ПП 10. №10.

Докажите (найдите ), что функция непрерывна в точке , если , .

РЕШЕНИЕ:

По определению непрерывности требуется доказать, что

По определению предела требуется доказать, что

.

1). Возьмем произвольное

2). Так как Положим

3). Возьмем . Тогда если то ч.т.д.

ПП 10. №11.

Определите точки разрыва функции

и исследовать характер разрыва.

РЕШЕНИЕ:

Функция имеет различный вид на отрезке [0, 1] и полуинтервале (1, 2], поэтому точка х = 1 может быть точкой разрыва.

Левый предел:

Правый предел:

Односторонние пределы существуют и не равны друг другу. Следовательно, точка х = 1 является точкой разрыва 1-го рода.

разрыв 1-го рода

ПП 10. №12.

Определите точки разрыва функции и исследуйте их характер.

РЕШЕНИЕ:

Функция не определена, следовательно, разрывна в точке х = 0.

Вычислим левый предел, учитывая, что показательная функция y = a^x, a > 1, стремится к нулю при х  - . Кроме того, функция y = 1/x является бесконечно большой, потому что х0 и х < 0. Итак,

Вычислим правый предел, учитывая, что показательная функция y = a^x, где a > 1, стремится к бесконечности при х  +. Кроме того, функция является бесконечно большой, потому что х0 и х > 0. Итак,

Поскольку правый предел бесконечен по определению, то точка х = 0 является точкой разрыва 2-го рода.

х = 0 – точка разрыва 2-го рода.

ПП 10. №13.

Установите, какого рода разрыв в точке х = 0 имеет функция

РЕШЕНИЕ:

.

О дносторонние пределы существуют и равны друг другу. Следовательно, точка х = 1 является точкой устранимого разрыва, устранить который можно доопределив функцию:

устранимый разрыв

ПП 10. №14.

Имеет ли корень уравнение sinx – x + 1 = 0?

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим функцию f(x) = sinx – x + 1, которая непрерывна на всей числовой оси, поскольку является суммой непрерывных на числовой оси функций y = sinx и y = -x + 1. легко установить, что функция меняет знак, поскольку f(0) = 1, а f(2) = -2 + 1 < 0. Следовательно, функция равняется нулю внутри отрезка [0, 2], то есть имеется по крайней мере один корень исходного уравнения.

да

ПП 10. №15.

Исследуйте поведение функции в точке . РЕШЕНИЕ:

В точке функция не определена,

является точкой устранимого разрыва.

Ч тобы функция стала непрерывной в точке , положим

Новая, доопределенная функция будет непрерывна на новой области определения – всей числовой оси.

ПП 10. №16.

Принимает ли функция значение внутри отрезка [-2, 2]?

РЕШЕНИЕ:

Функция является непрерывной на [-2, 2]. Кроме того, на концах отрезка функция принимает числовые значения f (-2)=1, f (2) = 5.

Так как то найдется точка c  (-2, 2) такая, что

да

ПП 10. №17.

Найдите функцию, обратную функции при .

РЕШЕНИЕ:

, , .

При функция монотонно убывает, значит, существует обратная. Выразим через , учитывая, что . Получим: , . Поменяем местами и . , , .

Область определения и область значений исходной и обратной функции меняются местами. Графики функций симметричны относительно прямой .