Ряд эквивалентных бесконечно малых при X  0:

пп 9. Теоретические Упражнения

ТУ ПП 9. №1.

Докажите, что предел не существует.

РЕШЕНИЕ:

В определении Гейне предполагается, что {x_n} – любая последовательность значений аргумента. Выберем две разных бесконечно больших последовательности: x_n = n и x_n = /2 + 2n, где n N, для которых и Поскольку а , то не существует.

ТУ ПП 9. №2.

Всегда ли сумма бесконечно больших функций является бесконечно большой функцией?

РЕШЕНИЕ:

Пусть , - бесконечно большие при .

1) Если , , то не является бесконечно большой функцией.

2) Если , , то является бесконечно большой функцией.

нет

ТУ ПП 9. №3.

Бесконечно большая при функция, является неограниченной в окрестности точки . Выполняется ли обратное утверждение?

РЕШЕНИЕ:

Не всякая неограниченная функция является бесконечно большой. Рассмотрим две неограниченных функции и .

1) - бесконечно большая при _{, так как} для любого числа можно указать окрестность точки , в каждой точке которой

_{2 )} - является неограниченной при , но бесконечно большой не является, так как для любого числа в каждой окрестности точки можно указать точку, в которой , но в этой же окрестности найдутся точки, не удовлетворяющие этому условию, для которых, например, .

нет

ТУ ПП 9. №4.

Докажите, что если и при , то .

РЕШЕНИЕ:

, , .

ТУ ПП 9. №5.

Используя результат задачи 5.364, вычислить предел .

РЕШЕНИЕ:

Используя ряд эквивалентностей при , можно записать: , ; .

ТУ ПП 9. №6.

С помощью определения предела функции на языке последовательностей докажите второй замечательный предел . Покажите, что функция y = (1 + 1/x) ^x при x   имеет предел, равный числу e.

РЕШЕНИЕ:

Пусть x  +. Тогда можно применить определение Гейне и рассмотреть последовательность x_n = n:

Пусть x  -. Тогда сделаем замену переменной t = -(x + 1) и, выражая x = -(t + 1), установим, что из x  - следует t  +.

ТУ ПП 9. №7.

Докажите соотношение: .

РЕШЕНИЕ:

.

ТУ ПП 9. №8.

Докажите соотношение: .

РЕШЕНИЕ:

Заменим переменную: (см. предыдущее упр.) .

ТУ ПП 9. №9.

Докажите соотношение: .

РЕШЕНИЕ:

Используем формулу бинома Ньютона для нецелого показателя степени . .

ТУ ПП 9. №10.

Докажите соотношение: .

РЕШЕНИЕ:

.

ТУ ПП 9. №11.

Определите порядок малости относительно при .

РЕШЕНИЕ:

, , откуда , т.е., порядок малости относительно при равен .

ТУ ПП 9. №12.

Докажите, что имеет второй порядок малости относительно при ,

если , .

РЕШЕНИЕ:

, , при .

пп 9. 2. ПреДЕЛЫ ФУНКЦИЙ

ТУ ПП 9. №13.

Докажите, что (найдите ).

РЕШЕНИЕ:

По определению предела функции:

.

1). Возьмем произвольное

2). Положим

3). Возьмем . Тогда если то , что и требовалось доказать.

ТУ ПП 9. №13.

Пользуясь определением предела функции Коши, докажите (найдите ), что

РЕШЕНИЕ:

Поскольку по определению Коши из неравенства x - 1 <  следует f(x) – (-5) < , решим неравенство (3x – 8) + 5 < :

3x – 8 + 5 = 3x - 3 = 3x - 1 < , x - 1 < /3.

Возьмем () = /3, тогда x - 1 <  = /3   (3x – 8) – (-5) <  , что и означает, что

 = /3

п/п

Задание

Ответ

ПП 9. №1.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

Значение функции определено в точке x = 2. Вычислим значение функции

9

ПП 9. №2.

Вычислите предел .

РЕШЕНИЕ:

ПП 9. №3.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

Как и для последовательностей, применим метод деления числителя и знаменателя на наивысшую степень x, т.е. на x³:

ПП 9. №4.

Вычислите предел .

РЕШЕНИЕ:

=

Так как число 3 является корнем числителя и знаменателя, поделим числитель и знаменатель на

найдем корни квадратных трехчленов

ПП 9. №5.

Вычислите предел .

РЕШЕНИЕ:

Пусть . Тогда .

ПП 9. №6.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

Домножим числитель и знаменатель на выражение , сопряженное числителю, и учтем, что (a – b)(a + b) = a² – b², тогда:

.

ПП 9. №7.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

Домножим и поделим на сопряженную величину:

0

ПП 9. №8.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

Домножим числитель и знаменатель на величину, сопряженную числителю:

0

ПП 9. №9.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

2

ПП 9. №10.

Вычислите предел .

Применим первый замечательный предел:

1

ПП 9. №11.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

4

ПП 9. №12.

Вычислите предел .

РЕШЕНИЕ:

1

ПП 9. №13.

Вычислите предел .

РЕШЕНИЕ:

ПП 9. №14.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

ПП 9. №15.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

ПП 9. №16.

Вычислите предел .

РЕШЕНИЕ:

Применим второй замечательный предел:

ПП 9. №17.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

.

1

ПП 9. №18.

Вычислите предел .

РЕШЕНИЕ:

ПП 9. №19.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

.

ПП 9. №20.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

Выясним тип неопределенности. Так как , а , степенно-показательная функция порождает неопределенность (1^). Для того, чтобы применить второй замечательный предел, преобразуем основание к виду

, тогда

6

ПП 9. №21.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

При x  0 sinx  x.

е

ПП 9. №22.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

При x  0 sinx  x, sin4x  4x.

ПП 9. №23.

Вычислите предел

РЕШЕНИЕ:

Поскольку x  1, сделаем замену переменной t = x – 1, t  0 и x = t + 1, тогда

cosx = cos (t + 1) = cos (t + ) = - cost,

tg²x = tg² (t + 1) = tg²(t + ) = tg²t.