Формула Маклорена

пп 12. Теоретические Упражнения

ТУ ПП 12 №1

Представьте функцию в виде многочлена третьей степени относительно .

Решение:

По формуле Маклорена получаем:

,

где .

ТУ ПП 12

№2

Выяснить происхождение приближенных равенств

а) ;

б) .

Решение:

Равенства получаются из разложения функции по формуле Маклорена с точностью до слагаемых второго порядка:

ТУ ПП 12

№3

Функция непрерывна, имеет на концах отрезка [-1,1] равные значения (проверьте!). Какова причина нарушения теоремы Ролля?

Решение:

Д ля функции по определению не существует , так как , .

пп 12. Дифференциал

ПП 12.

№1.

Найдите дифференциал функции при произвольном значении аргумента и при произвольном его приращении .

РЕШЕНИЕ:

, .

ПП 12.

№2.

Найдите дифференциал 2-го порядка функции .

РЕШЕНИЕ:

. .

ПП 12.

№3.

Найдите дифференциал неявно заданной функции .

РЕШЕНИЕ:

Дифференцируем равенство: , откуда .

ПП 12.

№4.

Вычислите приближенное значение с помощью дифференциала.

Решение:

Рассмотрим функцию . Полагая и применяя формулу , получаем

0,513

ПП 12.

№5.

Вычислите приближенно .

Решение:

Пусть , где .

Тогда ;

.

Применим формулу ;

;

;

.

Тогда .

1,9938

ПП 12.

№6.

Вычислите приближенно значение объема шара радиуса м.

Решение:

Так как , то, полагая, , и используя формулу для , получаем

.

443

пп 12. пРАВИЛО лОПИТАЛЯ

ПП 12.

№7.

Раскройте неопределенность вида .

Решение:

.

0

ПП 12.

№8.

Вычислите предел функции

Решение:

. .

ПП 12.

№9.

Вычислите предел функции

Решение:

0

ПП 12. №10.

Вычислите предел функции

Решение:

.

4

ПП 12. №11.

Вычислите предел функции

Решение:

.

1

ПП 12. №12.

Вычислите предел функции

Решение:

.

ПП 12. №13.

Вычислите предел функции

Решение:

ПП 12. №14.

Вычислите предел функции

Решение:

ПП 12. №15.

Раскройте неопределенность вида при вычислении предела последовательности:

Решение:

1

ПП 12. №16.

Раскройте неопределенность типа .

Решение:

(Здесь правило Лопиталя применялось дважды).

ПП 12. №17.

Раскройте неопределенность типа

ПП 12. №18.

Вычислите предел .

Решение:

Имеем неопределенность типа .

.

Исследуем .

Таким образом, исходный предел .

ПП 12. №19.

Вычислите предел: .

Решение:

Предел является неопределенностью типа . Преобразуем:

.

Дважды применяем правило Лопиталя.

.

ПП 12. №20.

Вычислите .

Решение:

Имеем неопределенность типа .P

Тогда .

1

ПП 12. №21.

Вычислите предел .

Решение:

Это неопределенность вида .

Положим ; логарифмируем:

Применяя правило Лопиталя, получим:

.

Таким образом, .

1

пп 12. фОРМУЛА ТЕЙЛОРА

ПП 12. №22.

Многочлен разложите по степеням .

Решение:

; ; .

Найдем коэффициенты многочлена Тейлора:

Учитывая, что ; ; , получим

.

ПП 12. №23.

Запишите формулу Маклорена n – го порядка для функции .

Решение:

; ; .

ПП 12. №24.

Используя формулы Маклорена для элементарных функций, напишите первые n членов формулы Маклорена для функции .

Решение:

Преобразуем исходную функцию:

Окончательно:

.

ПП 12. №25.

Вычислите число e с точностью до 0,001.

Решение:

Запишем формулу Маклорена для eP^xP:

.

При :

.

Наименьшее значение , удовлетворяющее условию , равно 6,

2,718

ПП 12. №26.

Вычислите с точностью до 10P ^{– 3P} приближенное значение .

Решение:

Представим заданный корень так: . Воспользуемся формулой Маклорена:

где последнее слагаемое представляет собой погрешность вычисления.

Полагая

получим

.

Оценивая величины последовательных ошибок в вычислении , находим:

Следовательно, для вычисления с заданной точностью достаточно взять три члена, которые предшествуют остатку RB_2B, т.е.

.

3,072

ПП 12.

№27.

Используя разложение по формуле Маклорена, вычислите предел

Решение:

;

C точностью до бесконечно малых о получаем:

.

Заменим его разложением по формуле Маклорена:

о , тогда

Поскольку ~ при .

Окончательно .