Пп 12. Дифференциал. ПРавило лОпиталя.

ФОрмула тейлора

Основные определения и формулы

Дифференциал функции

,

Главная, линейная по часть приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается .

Главная часть, потому что - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Линейная, потому что дифференциал зависит от в первой степени.

Свойства дифференциалов

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке .

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

, ,

.

Дифференциал сложной функции

, -

инвариантность (неизменность) формы первого дифференциала.

Дифференциалы высших порядков:

, ,

;

В случае сложной функции, если , , - независимая переменная, тогда - форма второго дифференциала не инвариантна.

Основные теоремы анализа

Т еорема Ролля (о нуле производной)

Если: 1) функция - непрерывна на отрезке , 2) на интервале существует производная , 3) значения функции на концах отрезка совпадают, , то существует точка такая, что .

Если функция удовлетворяет условию теоремы Ролля, то в некоторой точке отрезка касательная к графику параллельна оси .

Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)

Если: 1) - непрерывна на отрезке , 2) на интервале существует производная , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что или .

Н а кривой найдется, по крайней мере, одна точка , в которой касательная параллельна хорде .

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Так как , то , , где , откуда , .

Теорема Коши (обобщенная теорема о конечных разностях)

Если: 1) непрерывны на , 2) на существуют производные , 3) , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что .

Правило Лопиталя – Бернулли

Раскрытие неопределенностей типа и : .

№п/п	Неопределенность	Метод раскрытия
1	;
2		или получаем неопределенность или .
3		, тогда
4	; ;	Если ,то применяется предварительное логарифмирование: ; ; . Исходный предел . К этому же результату можно прийти, применяя основное логарифмическое тождество, после чего .

Многочлен Тейлора

,

Формула Тейлора

Если дифференцируема раз в окрестности точки ,B _Bто для любого из указанной окрестности справедлива формула Тейлора порядка n:

где ,

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Для вычисления пределов полезен другой вид остаточного члена – в форме Пеано:

=о

Формула Тейлора порядка n позволяет представить функцию в виде суммы многочлена n–й степени и остаточного члена.