Пп 7.3. Преобразования координат основные определения и формулы

ПП 7.3. Преобразования координат

ПП 7.3.

№ 1

Преобразовать уравнение x² – y² = a² поворотом осей на 45 против часовой стрелки.

Решение

Так как  = -45, то

Отсюда преобразование поворота принимает вид:

Подстановка в исходное уравнение дает ху = а²/2.

ПП 7.3.

№ 2

Привести уравнение 5x² + 9y² – 30x + 18y + 9 = 0 к каноническому виду и построить кривую.

Решение

Сгруппируем члены этого уравнения, содержащие одноименные координаты: (5x² – 30x) + (9y² + 18y) +9 = 0, или 5(x² – 6x) + 9(y² + 2y) +9 = 0.

Дополняем члены в скобках до полных квадратов: 5(x² – 6x + 9 – 9) + 9(y² + 2y + 1 – 1) +9 = 0, или 5(x – 3)² + 9(y + 1)² = 45.

Обозначаем x = x – 3, y = y + 1,

x₀ = 3, y₀ = -1, то есть точка О₁(3, -1) – центр кривой.

Уравнение в новой системе координат принимает вид:

и определяет эллипс с полуосями а = 3, b = который в исходной системе координат имеет центр в точке О₁(3, -1).

ПП 7.3.

№ 3

Определить вид кривой

Решение

Определим угол поворота осей по формуле (7) п.4.4:

Подвергнем уравнение кривой преобразованию:

и получим уравнение эллипса

.

x ² + 2y ² = 2.

ПП 7.3.

№ 4

Установить, какую линию определяет уравнение x² + y² + xy – 2x + 3y = 0.

Решение

Перенесем начало координат в такую точку О₁(х₀, у₀), чтобы уравнение не содержало х и у в первой степени.

Это соответствует преобразованию координат:

Подстановка в исходное уравнение дает

(x + x₀)² + (x + x₀)(y + y₀) + (y + y₀)² – 2(x + x₀) + 3(y + y₀) = 0 или

x² + xy + y² + (2x₀ + y₀ - 2)x + (x₀ + 2y₀ + 3)y + x₀² + x₀y₀ + y₀² - 2x₀ + 3y₀ =0.

Положим 2x₀ + y₀ – 2 = 0, x₀ + 2y₀ + 3 = 0.

Решение полученной системы уравнений: x₀ = 7/3 и y₀ = -8/3.

Таким образом, координаты нового начала координат

O₁(7/3, -8/3), а уравнение принимает вид x² + xy + y ² = 93/25.

Повернем оси координат на такой угол , чтобы исчез член ху.

Подвергнем последнее уравнение преобразованию:

и получим (cos² + sincos + sin²)x² + (cos² - sin²)xy +

+ (sin² - sincos + cos²)y ² = 93/25.

Полагая cos² - sin² = 0, имеем tg² = 1. Следовательно, _1,2 = 45.

Возьмем  = 45, cos45 = sin45 =

После соответствующих вычислений получаем

Итак,

• уравнение эллипса с полуосями

в дважды штрихованной системе координат, получаемой из исходной параллельным переносом осей координат в точку О₁(7/3, -8/3) и последующим поворотом на угол 45 против часовой стрелки.

Уравнение x² + y² + xy – 2x + 3y = 0 приведено к каноническому виду

ПП 7.3.

№ 5

Привести к каноническому виду уравнение 4x² – 4xy + y² – 2x – 14y + 7 = 0.

Решение

Система уравнений для нахождения центра кривой:

несовместна,

значит, данная кривая центра не имеет. Не меняя начала координат, повернем оси на некоторый угол , соответствующие преобразования координат имеют вид:

Перейдем в уравнении к новым координатам:

4x² – 4xy + y² – 2x – 14y + 7 = (4cos² - 4cossin + sin²)x² +

+ 2(-4sincos - 2cos² + 2sin² + sincos)xy +

+ (4sin² + 4sincos + cos²)y² +

+ 2(-cos - 7sin)x + 2(sin - 7cos)y + 7 = 0. (*)

Постараемся теперь подобрать угол  так, чтобы коэффициент при ху обратился в нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение -4sincos - 2cos² + 2sin² + sincos = 0.

Имеем 2sin² - 3sincos - 2cos² = 0, или 2tg² - 3tg - 2 = 0.

Отсюда tg = 2, или tg = -1/2. Возьмем первое решение, что соответствует повороту осей на острый угол. Зная tg, вычислим cos и sin:

Отсюда, и учитывая (*), находим уравнение данной кривой в системе х,у:

(**)

Дальнейшее упрощение уравнения (**) производится при помощи параллельного перенесения осей Ох, Оу.

Перепишем уравнение (**) следующим образом:

Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и компенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим:

Введем теперь еще новые координаты х,у, полагая

x = x + y = y +

что соответствует параллельному перемещению осей на величину в направлении оси Ох и на величину в направлении оси Оу. В координатах ху уравнение данной линии принимает вид

Это есть каноническое уравнение параболы с параметром и с вершиной в начале координат системы ху. Парабола расположена симметрично относительно оси х и бесконечно простирается в положительном направлении этой оси. Координаты вершины в системе ху а в системе ху

ПП 7.3.

№ 6

Какую линию определяет уравнение 4x² - 4xy + y² + 4x - 2y - 3 =0?

Решение

Система для нахождения центра кривой в данном случае имеет вид:

Эта система равносильна одному уравнению 2х₀ – у₀ + 1 = 0, следовательно, линия имеет бесконечно много центров, составляющих прямую 2х – у + 1= 0.

Заметим, что левая часть данного уравнения разлагается на множители первой степени:

4х² – 4ху + у² + 4х –2у –3 = (2х – у +3)(2х – у – 1).

Значит, рассматриваемая линия представляет собой пару параллельных прямых:

2х – у +3 = 0 и 2х – у – 1 = 0.

ПП 7.3.

№ 7

1. Уравнение 5х² + 6ху + 5у² – 4х + 4у + 12 = 0

приводится к каноническому виду х ² + 4у ² + 4 = 0, или

Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса. Однако оно не определяет на плоскости никакого действительного образа, так как для любых действительных чисел х,у левая часть его не отрицательна, а cправа стоит –1. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями мнимого эллипса.

2. Уравнение 5х² + 6ху + 5у² – 4х + 4у + 4 = 0

приводится к каноническому виду х ² + 4у ² = 0, или

Уравнение также похоже на каноническое уравнение эллипса, но определяет не эллипс, а единственную точку: х = 0, у = 0. Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями вырожденного эллипса.

ПП 7.3.

№ 8

Составить уравнение параболы, если ее фокус находится в точке F(2, -1) и уравнение директрисы D: x – y – 1 = 0.

Решение

Пусть в некоторой системе координат хО₁у парабола имеет канонический вид у² = 2рх. Если прямая у = х – 1 является ее директрисой, то оси системы координат хО₁у параллельны директрисе.

Координаты вершины параболы, совпадающей с новым началом координат О₁, найдем как середину отрезка нормали к директрисе D, проходящей через фокус.

И так, ось О₁х описывается уравнением у = -х + b, -1 = -2 + b.

Откуда b = 1 и О₁х: у = -х + 1.

Координаты точки K пересечения директрисы и оси О₁х находим из условия:

Координаты нового начала координат О₁(х₀, у₀):

Оси новой системы координат повернуты относительно старой на угол (-45). Найдем р = KF =

Итак, уравнение параболы в старой системе координат получим, если подвергнем уравнение параболы y ² = x преобразованию (см. формулу (5) п.4.3):

откуда искомое уравнение параболы имеет вид: х² + 2ху + у² – 6х + 2у + 9 = 0.

ПП 7.3.

№ 9

Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е = фокус F(2, -3) и уравнение директрисы 3х – у + 3 = 0.

Решение

Уравнение директрисы D₁: у = 3х + 3 позволяет заключить, что новая ось координат Ох имеет вид y = (-1/3)x + b, проходит через точку F(2, -3), значит, откуда b = -7/3 и Ох задается уравнением

Пусть начало новой системы координат находится в точке О₁(х₀, у₀). Найдем координаты точки К как координаты точки пересечения директрисы D₁ и оси Ох из системы

Геометрические свойства гиперболы, которая в новых осях координат Оху имеет вид позволяют найти КF как расстояние от фокуса

F(2, -3) до директрисы D₁: 3х – у + 3 = 0.

так как Значение а находим из уравнения и получаем При этом b² = 18.

Уравнение гиперболы в новых координатах имеет вид

Координаты нового центра найдем, зная что точка К делит отрезок О₁F в отношении

Из  АВО: sin = cos = Так как поворот совершается на угол (-): sin(-) = cos(-) = то формулы преобразований координат (см. (5) в п.4.3) принимают вид:

и уравнение гиперболы принимает вид

4(3х – у +6)² – (х + 3у + 7)² = 180 или 7х² – у² – 6ху – 18у + 26х + 17 = 0.