Пп 6. Аналитическая геометрия в пространстве: плоскость и прямая линия в пространстве, взаимное расположение прямой и плоскости. Формулы аналитической геометрии в пространстве

6.1. Плоскость в пространстве

1. - общее уравнение плоскости в декартовой системе координат ;

2. - уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной вектору ;

3. - уравнение плоскости, отсекающей на осях координат ox, oy, oz отрезки a, b и c соответственно;

4. - нормальное уравнение плоскости, где р – расстояние от начала координат до плоскости, а единичный вектор, перпендикулярный плоскости, имеет координаты ;

5. - нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D);

6. - расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением;

7. - уравнение плоскости, проходящей через три точки (i=1,2,3), не лежащие на одной прямой;

8. - угол между плоскостями ;

9. - необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей

10. - необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей ;

11. - расстояние между двумя параллельными плоскостями .

6.2. Прямая в пространстве

12. - общее уравнение прямой как линии пересечения двух параллельных плоскостей;

13. - канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;

14. - уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости;

15. - параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с компонентами ;

16. - соотношения между компонентами направляющего вектора прямой и координатами общего уравнения прямой;

17. - канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (i=1,2);

18. - косинус угла между прямыми (i=1,2), проходящими через точку ;

19. - условие параллельности двух прямых (i=1,2);

20. - условие перпендикулярности двух прямых (i=1,2);

- прямые: и

лежат в одной плоскости

6.3. Прямая и плоскость в пространстве

22.  уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общим уравнением

23. - координаты точки пересечения прямой и плоскости ;

24. - синус угла между прямой и плоскостью ;

25. - условие перпендикулярности прямой и плоскости ;

26. - условие параллельности прямой и плоскости .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

В ПРОСТРАНСТВЕ

Плоскость

ПП 6.№1. Составьте уравнение плоскости Р, проходящей через точку :

6.1.1) параллельно плоскости ;

6.1.2) перпендикулярно прямой L;

6.1.3) перпендикулярно двум плоскостям .

Решение:

6 .1.1) Плоскость проходит через точку параллельно плоскости , заданной уравнением . В качестве нормального вектора искомой плоскости Р можно выбрать нормальный вектор плоскости . Плоскость задана общим уравнением , в котором коэффициенты А, В, С являются компонентами нормального

вектора, значит, и уравнение плоскости Р может быть записано в виде уравнения плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором :

. После приведения к виду общего уравнения плоскости это уравнение принимает вид: .

ОТВЕТ: .

6.1.2) Плоскость проходит через точку перпендикулярно

прямой L: . В качестве нормального вектора искомой плоскости выбираем направляющий вектор прямой L, имеющий компоненты из канонических уравнений данной прямой L.

Уравнение плоскости, проходящей через точку с нормальным вектором , имеет вид:

.

ОТВЕТ: .

6.1.3) Искомая плоскость проходит через точку и

п ерпендикулярна двум плоскостям:

Нормальный вектор искомой плоскости

должен быть перпендикулярен нормальным

векторам плоскостей и . В качестве

такого вектора можно выбрать их векторное

произведение:

Уравнение искомой плоскости имеет вид:

.

ОТВЕТ: .

ПП 6.№2. Составьте уравнение плоскости Р , проходящей через три

данные точки:

Решение: Если M(x,y,z) - текущая координата плоскости, то уравнение плоскости получается как следствие компланарности векторов , то есть равенства нулю их смешанного произведения:

ОТВЕТ:

ПП 6.№3.

6.3.1) Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

6.3.2) Составьте уравнение плоскости Р, параллельной вектору и отсекающей на координатных осях отрезки .

6.3.3) Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку и отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки.

Решение:

6.3.1) Приведем уравнение плоскости к виду уравнения

плоскости "в отрезках":

отсекаемые плоскостью на осях ox, oy, oz соответственно.

ОТВЕТ: -4, 3, 0,5.

6.3.2) Уравнение искомой плоскости "в отрезках" имеет вид: Приведение его к общему виду дает плоскость с нормальным вектором Из условия перпендикулярности векторов : , и уравнение плоскости принимает вид:

.

ОТВЕТ: .

6.3.3) Уравнение плоскости, отсекающей от осей координат положительные и равные отрезки а, имеет вид:

Так как плоскость проходит через точку , и уравнение плоскости принимает вид: .

ОТВЕТ: .

ПП 6.№4. Найдите угол между плоскостями и .

Решение:

Один из двух смежных углов (острый) между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и находится из их скалярного произведения:

ОТВЕТ:

ПП 6.№5. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно к плоскости

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку М с нормальным вектором , условие прохождения этой плоскости через точку N и условие перпендикулярности этой плоскости и заданной плоскости с нормальным вектором дают однородную систему уравнений для определения А, В, С:

Условие существования решения системы приводит к уравнению искомой плоскости:

ОТВЕТ:

ПП 6.№6. Приведите уравнение плоскости к нормальному виду и объясните смысл коэффициентов при неизвестных.

Решение: В нормальном уравнении плоскости

коэффициенты представляют собой направляющие косинусы единичного вектора нормали к этой плоскости, которая проходит через начало координат и отстоит от него на расстоянии р. Общее уравнение плоскости с нормальным вектором приводится к нормальному виду путем умножения на нормирующий множитель знак которого противоположен знаку D.

В данной задаче и уравнение плоскости принимает вид:

ОТВЕТ:

ПП 6.№7. Найдите расстояние от заданной точки до плоскости .

Решение: Расстояние от точки до плоскости с нормальным вектором равняется

.

Здесь , то есть начало координат и точка находятся по одну сторону от плоскости. Искомое расстояние равно

ОТВЕТ: 3.

ПП 6.№8. Составьте уравнение плоскости, которая делит пополам двугранный угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями: и

Решение: Уравнение плоскостей найдем из условия равенства отклонений точки этой плоскости от двух данных плоскостей и :

что дает

1) :

2) :

О ТВЕТ: ,

Прямая

ПП 6.№9. Прямая L задана общими уравнениями Напишите канонические уравнения этой прямой и её уравнения в виде проекций на координатные плоскости.

Решение:

Решим задачу двумя способами.

1-й способ.

Найдем произвольную точку, лежащую на прямой, предположив, что

x = 0, тогда из системы, задающей прямую двумя уравнениями плоскости, найдем, что y = 2 и z = 2.

Точка . В качестве направляющего вектора прямой можно выбрать вектор , так как он будет перпендикулярен как , так и : и канонические уравнения прямой принимают вид: и могут быть записаны в виде проекций на координатные плоскости следующим образом:

2-й способ.

Из общих уравнений прямой L , исключая x и y в системе, получим уравнения прямой в проекциях на плоскости xoz и yoz:

Из этих уравнений и канонические уравнения прямой можно записать в виде

ОТВЕТ: ; ;

ПП 6.№10.

6.10.1) Докажите параллельность прямых

6.10.2) Определите угол между прямыми

Решение:

6.10.1) Направляющий вектор прямой имеет вид: . Направляющий вектор прямой может быть выбран в виде векторного произведения нормальных векторов двух пересекающихся плоскостей

Прямые и параллельны, так как компоненты их направляющих векторов пропорциональны: .

6.10.2) Угол между направляющими векторами прямых и определяется из значения их скалярного произведения:

ОТВЕТ:

ПП 6.№11. Найдите уравнения прямой, проходящей через точку и пересекающей ось ox под прямым углом.

Решение: Уравнение искомой прямой можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через две точки и :

. По условию

Вторую точку находим из условия, что прямая перпендикулярна оси ox и пересекает ее, то есть и уравнение искомой прямой принимает вид:

ОТВЕТ:

ПП 6.№12.

6.12.1) Составьте параметрические уравнения прямой L, проходящей через точку параллельно прямой

6.12.2) Напишите канонические уравнения прямой L, проходящей через точку параллельно прямой

Решение:

6.12.1) В качестве направляющего вектора искомой прямой L можно взять направляющий вектор прямой : , так как прямые L и параллельны по условию; канонические уравнения прямой могут быть приведены к параметрическому виду, если приравнять входящие в них отношения значению параметра t:

ОТВЕТ:

6.12.2) Прямая L, параллельная прямой , будет перпендикулярна нормальным векторам плоскостей, образующих прямую , то есть

и канонические уравнения прямой L принимают вид:

ОТВЕТ:

ПП 6.№13. Определите, при каком значении прямые пересекаются.

Решение:

По условию прямая проходит через точку , а прямая - через точку .

Условием пересечения двух прямых будет условие компланарности векторов , которое можно записать в виде

то есть откуда

ОТВЕТ: 3.

ПП 6.№14. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку , пересекающей прямую и перпендикулярную прямой

Решение:

Уравнение искомой прямой . Она лежит в одной плоскости с прямой , проходящей через точку , то есть и перпендикулярна прямой с направляющим вектором . Условие перпендикулярности прямых заключается в равенстве Решим систему для определения Выражая через найдем при таким образом, и уравнение искомой прямой L имеет вид:

ОТВЕТ: