4.12. Переход от одного отрезка к другому

Программы, в которых реализованы квадратурные правила, обычно позволяют задавать концы отрезка интегрирования произвольно . Однако в таблицах, правила приведены для какого-либо определенного отрезка, чаще всего или . Приближенное значение интеграла для какого-либо другого отрезка будет иметь вид .

В этом случае нужно с помощью замены переменной осуществить переход от переменной , принадлежащей отрезку ( где возможно ) к переменной , принадлежащей отрезку . Тогда формула примет вид

Для отрезка она упростится

.

Существует много преобразований при переходе от переменной к переменной и преобразовании отрезка к отрезку , но приведенное выше – самое простое в силу своей линейности.

4.13. Квадратурные правила Гаусса-Кронрода

Вычисление определённых интегралов находит широкое применение как в математических, так и в прикладных задачах. На практике, как правило, используют приближённые квадратурные формулы. Одной из наиболее известных и востребованных при разработке пакетов компьютерной математики (MATLAB, Mathematica) является квадратурная формула Гаусса-Кронрода [1-6].

При построении квадратурных формул типа Гаусса-Кронрода используются различные системы ортогональных многочленов [1-4, 6]. Рассмотрим систему ортогональных многочленов Якоби . Нетрудно доказать следующее свойство симметрии этих многочленов.

ТЕОРЕМА. Для многочленов Якоби , ортогональных на с весовой функцией ( , ), выполняется .

Для весовой функции вида при эта теорема обобщает доказанное в [7] утверждение (Теорема 1.3).

В настоящей работе показано, что для базовой формулы типа Гаусса (построенной с помощью многочленов Якоби), используя указанное свойство симметрии, можно построить две парные симметричные квадратурные формулы типа Гаусса-Кронрода.

Не теряя общности, будем рассматривать промежуток интегрирования . Пусть построена базовая квадратурная формула типа Гаусса

, (1)

где весовые коэффициенты , – нули многочлена Якоби с единичным старшим коэффициентом . Тогда по найденным значениям весовых коэффициентов и узлам можно построить две парные симметричные формулы типа Гаусса-Кронрода (равного алгебраического порядка точности):

, (2)

, (3)

где – нули полинома Кронрода , который строится по аналогии с методом, изложенным в [4]. Коэффициенты многочлена определяются с помощью взвешенных степенных моментов по формулам

… , а весовые коэффициенты вычисляются по формуле .

Заметим, что правые части в формулах (2) и (3) в общем случае при дают различные приближенные значения интеграла, а при – равные. Получение двух приближенных значений интеграла с помощью одного набора весовых коэффициентов и узлов дает определенные вычислительные и алгоритмические преимущества при использовании формул (2) и (3).

В [4] указано, что формулы (1) и (2)–(3) при некоторых ограничениях на весовую функцию можно применять при вычислении интегралов вида , предварительно выделив весовую функцию и положив .

В 1965 году задачу получения оценок погрешности квадратурных правил Гаусса исследовал советский специалист в области вычислительной математики А. С. Кронрод. Идея Кронрода состояла в построении, наряду с правилами Гаусса, нового правила, узлами которого были бы как все узлы правила Гаусса ( ), так и некоторые другие точки. Кронрод предложил строить правила вида

.

Отметим, что и имеют общих узлов. Кроме того, имеет дополнительных узлов и новые веса . Два правила ( , ) называют парой Гаусса-Кронрода.

Таблица весов для пары Гаусса-Кронрода (7,15) для отрезка .

Узлы 7-точечтого правила Гаусса	Веса

Узлы 15-точечтого правила Крондора	Веса

Оценка погрешности правила Гаусса-Кронрода

.

Пара Гаусса-Кронрода вместе с приведенной оценкой погрешности сейчас представляет собой один из самых эффективных методов вычисления интегралов общего вида. Пара ( , ) является стандартной.