- •Содержание
- •2. Понятие уравнения
- •2.1. Численное решение нелинейных алгебраических и транцендентных уравнений
- •2.1.1. Метод перебора
- •2.1.2. Метод дихотомии (половинного деления)
- •2.1.3. Метод отделения корней
- •2.1.4. Метод хорд
- •2.1.5. Метод касательных (метод Ньютона, метод линеаризованной итерации)
- •2.1.6. Метод секущих (комбинированный метод секущих – хорд, метод хорд - касательных)
- •2.1.7. Метод простых итераций
- •2.2. Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений (снау)
- •2.2.1. Метод последовательных приближений (простых итераций) для снау
- •2.2.2. Метод Ньютона для снау
- •2.2.2.1. Вариант 1
- •2.2.2.2. Вариант 2
- •2.2.2.3. Меры предосторожности в методе Ньютона
- •2.2.2.4. Локальное решение нелинейного уравнения
- •2.2.3. Метод Ньютона по параметру
- •2.2.4. Метод Бройдена
- •2.2.5. Метод Матвеева
- •Литература
- •Задания и примеры выполнения нахождение корня нелинейного уравнения
- •1. Постановка задачи
- •2. Методы решения задачи
- •2.1 Метод деления отpезка пополам
- •2.2 Метод простой итерации
- •2.3 Метод Ньютона
- •Методы решения системы нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •2. Методы решения системы нелинейных уравнений
- •2.1.Метод простой итерации
- •2.2. Метод Ньютона
2.2.2.3. Меры предосторожности в методе Ньютона
Меры предосторожности для метода Ньютона основаны на двух идеях. Во-первых, мы хотим иметь гарантию, что на каждой итерации происходит приближение к решению. Во-вторых, мы хотим предотвратить использование больших шагов, которые могут привести к катастрофе.
Мы хотим добиться выполнения условия
.
Напомним, что вторая (евклидова ) норма .
С целью предотвращения больших шагов наложим ограничение на шаг :
,
где - некоторый ограничитель, выбираемый алгоритмом. Ограничитель выбирает нашу степень доверия к модели . Если модель хорошая, то аппроксимация будет эффективной при больших значениях и можно выбирать большой ограничитель . Если модель плохая, то аппроксимация будет приемлемой лишь при малых значениях и нужно использовать малое значение . Множество называется доверительной областью.
Если ограничитель мал, то трудно надеяться, что решение уравнения Ньютона будет удовлетворять нашему ограничению. Необходим некоторый компромисс. Другими словами необходима задача оптимизации:
Минимизировать по норму при условии .
Опишем простейшую версию всего алгоритма в целом. На -й итерации выполняются следующие действия:
Если , то останов.
Вычислить шаг , решая приведённую выше задачу оптимизации с ограничением (Минимизировать по норму при условии ).
Если , то шаг принимается. Положить . Перейти к шагу 1.
Если шаг отвергается, то уменьшить ограничитель . Положить . Перейти к шагу 1.
Невозможно гарантировать, что алгоритмы доверительной области будут сходиться к решению СНАУ. Для задач размерности больше единицы методы с гарантированной глобальной сходимостью всё ещё остаются предметом исследования. Эти проблема тесно связана с задачей глобальной оптимизации.
2.2.2.4. Локальное решение нелинейного уравнения
В качестве иллюстрации решения рассмотрим одномерную задачу
.
Решение нелинейного уравнения есть точка . Однако точка является его локальным решением. Чтобы убедиться в этом, заметим, что
.
В точке производные имеют вид
поэтому - локальный минимизатор . Но поскольку , точка не является решением нелинейного уравнения.
Чтобы избежать нахождения только локальных решений, можно использовать более сложные стратегии. К ним относятся методы гомотопии.
2.2.3. Метод Ньютона по параметру
Метод Ньютона по параметру относится к классу квазиньютоновских (градиентных) методов и предусматривает расчет нового исходного приближения по формуле
,
где - (итерационный коэффициент) параметр, выбираемый на каждой итерации.
При метод совпадает с обычным методом Ньютона.
Параметр выбирают с целью ускорения сходимости и предупреждения расхождения метода. Факт расхождения может быть установлен, если невязка любого уравнения системы не уменьшилась по сравнению с предыдущей итерацией .
2.2.4. Метод Бройдена
Метод предусматривает выбор параметра в процессе поиска по направлению вектора поправок минимума одной из норм вектора невязок, например, евклидовой (или второй нормы) . В простейшем случае можно попытаться выполнить последовательность расчетов , уменьшая шаг вдвое, т.е. полагая пока не уменьшится, или не станет малой величиной. Более сложные варианты предусматривают аппроксимацию сечения по направлению поверхности функции невязок выпуклой квадратичной функцией и выбор , обеспечивающего минимум этой функции.
Вычислим значение и, выполнив предварительно шаг метода Ньютона, вычислим . Если , то поиск на отрезке [0,1] начинается с , в противном случае с . Зададимся некоторым и вычислим значения функции в точках в первом случае и в точках во втором случае, где Поиск прекращается при выполнении условия
.
В окрестности -й точки производится квадратичная аппроксимация функции и определяется из условия ее минимума (равенства нулю производной) значение , равное
,
где - точки, в которых известно значение аппроксимируемой функции .