![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •2. Понятие уравнения
- •2.1. Численное решение нелинейных алгебраических и транцендентных уравнений
- •2.1.1. Метод перебора
- •2.1.2. Метод дихотомии (половинного деления)
- •2.1.3. Метод отделения корней
- •2.1.4. Метод хорд
- •2.1.5. Метод касательных (метод Ньютона, метод линеаризованной итерации)
- •2.1.6. Метод секущих (комбинированный метод секущих – хорд, метод хорд - касательных)
- •2.1.7. Метод простых итераций
- •2.2. Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений (снау)
- •2.2.1. Метод последовательных приближений (простых итераций) для снау
- •2.2.2. Метод Ньютона для снау
- •2.2.2.1. Вариант 1
- •2.2.2.2. Вариант 2
- •2.2.2.3. Меры предосторожности в методе Ньютона
- •2.2.2.4. Локальное решение нелинейного уравнения
- •2.2.3. Метод Ньютона по параметру
- •2.2.4. Метод Бройдена
- •2.2.5. Метод Матвеева
- •Литература
- •Задания и примеры выполнения нахождение корня нелинейного уравнения
- •1. Постановка задачи
- •2. Методы решения задачи
- •2.1 Метод деления отpезка пополам
- •2.2 Метод простой итерации
- •2.3 Метод Ньютона
- •Методы решения системы нелинейных уравнений
- •Постановка задачи
- •2. Методы решения системы нелинейных уравнений
- •2.1.Метод простой итерации
- •2.2. Метод Ньютона
2.2.2. Метод Ньютона для снау
Название метод Ньютона применяется к целому семейству методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом.
Рассмотрим простой пример.
Поскольку
,
где
-начальное приближение, то
и
можно получить новое приближение
.
Продолжая итерационный процесс можно
с требуемой точностью приблизиться к
одному из решений,
например,
Расчетная
формула для метода Ньютона может быть
получена, если представить
в окрестности текущего приближения
в виде ряда Тейлора
,
и ограничиться линейными членами, тогда в матричной форме получим
,
где
Рис.
1. Итерация метода Ньютона для
.
2.2.2.1. Вариант 1
Применительно
к СНАУ
получим следующий алгоритм:
1.
Выбрать начальный вектор
,
положить
2.
Вычислить вектор
.
Если все
,
где e-
заданная точность расчета, то получено
решение, расчет окончен. Если
и
,
то итерационный процесс расходится,
расчет завершить аварийно.
3. Построить матрицу Якоби
и
вычислить значения всех производных в
точке
.
4.
Решить систему уравнений, определив
вектор поправок
5. Вычислить новое приближение
и
положить
.
6.
Если
,
где
-заданное
предельное число итераций, то аварийно
завершить расчет, иначе перейти к п.2
алгоритма.
7. Конец алгоритма.
Метод Ньютона при начальном приближении близком к некоторому решению часто обладает устойчивой квадратичной сходимостью. При плохой начальной точке имеет место расходящийся итерационный процесс. Метод Ньютона расходится, если матрица Якоби плохо обусловлена в окрестности решения. Часто перед использованием метода Ньютона выполняют несколько итераций, например, методом последовательных приближений для того, чтобы иметь «хорошее» начальное приближение.
В качестве косвенного критерия расхождения итерационного процесса можно использовать изменение знака Якобиана - определителя матрицы Якоби. Однако это условие, являясь достаточным, не является необходимым. Якобиан может быть вычислен, как побочный продукт решения методом Гаусса системы из п.3 алгоритма.
2.2.2.2. Вариант 2
Алгоритм:
Задаём абсолютную или относительную погрешность
, число уравнений
, максимальное число итераций
и вектор начальных приближений
(с компонентами
).
Используя разложение
в ряд Тейлора, формулируем матрицу Якоби
, необходимую для расчёта приращений при малом изменении переменных. Матрица Якоби в развёрнутом виде записывается следующим образом:
Поскольку
аналитическое дифференцирование
в общем случае нежелательно, заменяем
частные производные в матрице Якоби их
приближенными конечно-разностными
значениями
где
- малое приращение
,
например
.
Составляем и решаем систему линейных уравнений для малых приращений :
Решение
этой системы даёт
,
т. е.
.
Вычисляем уточнённые значения
или в общем виде
Для всех проверяем одно из условий:
по абсолютной и относительной погрешностям.
Если
оно выполняется, идём к п. 2, т. е. выполняем
новую итерацию. Иначе считаем вектор
найденным решением.
ПРИМЕР.
Испытаем метод Ньютона на примере
с
.
Матрица Якоби имеет вид
,
и уравнение Ньютона имеет вид
Использование
гауссова исключения даёт
,
и поэтому новым приближением к решению
будет
.
Решением же системы нелинейных уравнений
является
.