2.2. Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений (снау)

В подавляющем большинстве случаев математические модели реальных объектов содержат нелинейные функции, их отсутствие в математической модели говорит, как правило, о наличии упрощений.

Решение СНАУ является сложной задачей, необходимо глубокое знание, как физических свойств исследуемого объекта, так и особенностей СНАУ, используемых для его описания.

Наибольшее распространение получили методы ньютоновского типа, но могут применяться разные варианты последовательных приближений, градиентные методы и т.п.

СНАУ будем представлять как равную нулю вектор-функцию размерности , элементами которого являются функции , , где - вектор искомого решения размерности . Например,

Вариант нелинейного метода наименьших квадратов не рассматривается.

При решении СНАУ, как правило, возникает проблема существования и единственности решения, выбора подходящего решения из множества решений, удовлетворяющих тождеству , если решение существует.

Для большинства задач таких, для которых точное аналитическое решение не может быть получено, необходимо выполнение последовательности итераций. Важным является способ задания начального приближения, а также вопрос о том, будет ли сходиться выбранный метод к одному из решений и насколько быстро.

Говорят, что последовательность сходится к , если

при .

_{Если существует константа} и целое , такие, что для всех

,

то говорят, что последовательность линейно сходится к .

Если данное неравенство выполняется для некоторой последовательности , сходящейся к нулю, то говорят, что сходится сверхлинейно к .

Если сходится к и существуют постоянные , такие, что для всех

,

то говорят, что сходится к с порядком, по меньшей мере равным . При говорят о квадратичной скорости сходимости.

Итерационный метод, сходящийся с определенной скоростью к истинному решению при условии, что он стартует в достаточной близости от этого решения, называется локально сходящимся.

Под глобально сходящимися часто понимают методы, в которых обеспечивается сходимость к некоторому решению системы нелинейных уравнений почти из любой начальной точки.

2.2.1. Метод последовательных приближений (простых итераций) для снау

Метод последовательных приближений применяется в тех случаях, когда каждая из функций может быть аналитически разрешена относительно , т.е. система уравнений приводима к виду

Алгоритм решения заключается в последовательном вычислении

и начиная с некоторого начального приближения , пока:

• будет выполнено условие , где e- заданная точность расчета, т.е. получено некоторое решение;

• зарегистрирован факт расхождения итерационного процесса;

• превышено заданное предельное число итераций.

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы вблизи истинных значений корней выполнялись неравенства

.

Метод простых итераций рекомендуется применять в тех случаях, когда исходная система легко преобразуется к виду и известно хорошее начальное приближение.

Необходим глубокий анализ вида системы в каждом отдельном случае с точки зрения сходимости метода, возможности получения желаемого решения с требуемой точностью. Как правило, метод последовательных приближений является, в лучшем случае, линейно сходящимся.

В качестве вариантов метода последовательных приближений можно указать рассмотренные методы простой и ускоренной (метод Зейделя) итерации, модифицированные с учетом нелинейности решаемой задачи.