2.1.3. Метод отделения корней

Один из недостатков метода дихотомии – сходимость неизвестному корню (имеется почти у всех итерационных методов). Его можно устранить отделением уже найденного корня.

Если есть простой корень уравнения и - непрерывна, то вспомогательная функция непрерывна, причем все нули функции и совпадают, за исключением , ибо . Если – кратный корень уравнения , то он будет нулем кратности на единицу меньше; остальные нули обеих функций по-прежнему будут одинаковы.

Вот почему найденный корень можно отделить, т. е. перейти к другой функции . Тогда нахождение остальных нулей функции сведется к нахождению нулей функции . Когда мы найдем какой-нибудь корень функции , то этот корень тоже можно отделить, вводя новую вспомогательную функцию . Так можно последовательно найти все корни .

Строго говоря, находится лишь приближенное значение корня . А функция имеет нуль в точке и полюс в близкой к ней точке (рис. 3). Только на некотором расстоянии от этого корня она близка к . Чтобы это не сказывалось при нахождении следующих корней, надо вычислить каждый корень с высокой точностью, особенно если он кратный или вблизи него расположен другой корень уравнения.

Рис 3.

Отделение корней. Корень ξ уравнения считается отделённым на отрезке [a,b] , если на этом отрезке уравнение не имеет других корней.

Отделить корни – значит, разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень.

Произведем отделение корней аналитическим способом.

Аналитический метод отделения корней.

Найти – первую производную.
Составить таблицу знаков функции ,полагая равным.

а) критическим значениям (корням) производной или ближайшим к ним;

б) граничными значениями (исходя из области допустимых значений неизвестного).

Определить интервалы, на концах которых функция принимает значения противоположных знаков. Внутри этих интервалов содержится по одному и только по одному корню.

2.1.4. Метод хорд

При этом методе каждое значение находится как точка пересечения оси абсцисс с хордой, проведенной через точки и , причем одна из этих точек фиксируется та, для которой знаки и одинаковы. Если неподвижен конец хорды , то