![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 1. Механічні коливання Основні формули та визначення
- •2. Динаміка гармонічних коливань
- •3. Енергія тіла, що здійснює вільні гармонічні коливання
- •4. Спосіб векторних діаграм – графічне зображення гармонічного руху
- •5. Додавання двох однаково спрямованих гармонічних коливань рівних частот
- •7. Додавання двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань
- •8. Згасаючі (затухаючі) механічні коливання
- •9. Вимушені механічні коливання
- •Задача 1.1
- •Розв’язування 1.1.
- •Задача 1.2
- •Література
Задача 1.1
Написати рівняння гармонічного коливання,
якщо амплітуда коливання дорівнює
м, а частота
Гц.
Розв’язування 1.1.
Рівняння гармонічного коливання у загальному вигляді маємо:
(1)
Для нашого випадку рівняння гармонічного
коливання має вигляд:
(2)
Задача 1.2
Коливання вантажу на пружині масою
кг описується рівнянням
.
Визначити:
Амплітуду коливання
;
Колову частоту ;
Частоту
;
Період ;
Початкову фазу
;
Повну енергію
;
Максимальну швидкість руху вантажу
;
Коефіцієнт жорсткості пружини
.
Розв’язування 1.2
При гармонічних коливаннях рівняння коливань у загальному випадку записується так:
22
(1)
де
– амплітуда
коливання;
–
фаза коливання;
– початкова фаза коливання;
– циклічна частота;
– час
від початкового моменту.
Тоді згідно умови розв’язком задачі є:
Амплітуда коливання =0,1 м.
Колова частота
.
Частоту
визначаємо з рівняння
. Звідси
[Гц].
Період
. Тоді, знаючи з п.3
[c].
.
Повна енергія складається із потенціальної
і кінетичної
. В процесі коливання проходить перетворення кінетичної енергії в потенціальну і зворотній процес. Причому в момент найбільшого відхилення від положення рівноваги повна енергія складається тільки із потенціальної енергії, яка досягає свого максимального значення
. А при проходженні системи через положення рівноваги повна енергія складається лише з кінетичної енергії, яка в цей момент досягає найбільшого значення
.
Значить повна енергія
для нашого випадку слідуюча:
23
Максимальна швидкість руху вантажу
:
.
Коефіцієнт жорсткості пружини знаходимо з порівняння максимальних значень кінетичної і потенціальної енергій:
;
;
.
Задача 1.3
Осцилограма затухаючих коливань має
коливань. Амплітуда першого коливання
мм і наступного
мм. Вважаючи, що час протягом якого
відбуваються ці коливання дорівнює
,
визначити:
Період , частоту і колову частоту коливань.
Логарифмічний декремент затухання коливань .
Коефіцієнт затухання коливань .
Сталу часу
.
Коефіцієнт опору системи
.
Хвильовий (характеристичний) опір системи
.
Добротність системи
.
Розв’язування 1.3
Період коливання визначаємо за формулою
, де – час коливання;
– кількість коливань, які відбулися протягом цього часу. У нашому випадку
, а . Отже,
.
24
Частота
;
.
Колова частота
;
.
Логарифмічний декремент затухання
, де
і
– амплітуди коливань, віддалені одна від одної на період. Знаючи і визначаємо
.
Враховуючи, що амплітуда
затухаючих коливань змінюється за формулою:
,
знайдемо значення амплітуд, які
відповідають моментам часу, що
відрізняються на період (згідно визначення
)
.
Одержаний вираз називають декрементом затухання, а його логарифм – логарифмічним декрементом затухання:
.
З приведеного рівняння знаходимо
коефіцієнт затухання коливань
:
.
Стала часу
– це є інтервал часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в
раз. Цю сталу часу визначають через коефіцієнт затухання
;
.
25
Коефіцієнт опору системи визначається через коефіцієнт затухання і масу вантажу, що коливається. Для коливань вантажу на пружині
.
Хвильовий (характеристичний) опір системи для коливань вантажу на пружині визначають за формулою:
.
Добротність системи визначається відношенням характеристичного опору до коефіцієнта опору , тобто
.
Задача 1.4
Яка частота, амплітуда і початкова фаза
коливання, яке задається рівнянням
?
Розв’язування 1.4
Частоту коливання знаходимо за формулою
;
.
Амплітуда коливання
м.
Початкова фаза коливання
рад
.
Задача 1.5
Написати рівняння гармонічного
коливального руху з амплітудою в 5 см,
якщо за одну хвилину виконується 150
коливань і початкова фаза коливань
дорівнює
.
Розв’язування 1.5
Загальне рівняння гармонічного
коливального руху має вигляд:
.
Знаходимо, що
м.
26
Відомо, що
,
де
;
тоді
.
Таким чином, рівняння буде мати вигляд:
.
Задача 1.6
Маємо вантаж на пружині (мал. ). Визначити:
Жорсткість пружини.
Роботу, виконану силою тяжіння під час розтягування пружини.
Максимальну швидкість, якої набуде тіло, що здійснює коливання, якщо зникне сила тяжіння.
Колову частоту, частоту і період коливань даного вантажу на пружині (один з варіантів цього завдання можна перевірити експериментально, зібравши демонстраційну установку).
Довжину нитяного (математичного) маятника, який матиме такий період коливань, як і даний вантаж на пружині (результат можна запропонувати перевірити експериментально).
Розв’язування 1.6
1. За законом Гука, сила пружності пропорційна деформації тіла:
,
де
– жорсткість пружини (коефіцієнт
пропорційності між силою пружності і
деформацією тіла).
Звідси
27
,
де сила пружності
дорівнює силі земного тяжіння, що діє
на вантаж:
а деформація
(її можна знайти за початковим і кінцевим положенням стрілки відносно лінійки).
Отже
2. Роботу, виконану силою земного тяжіння
при розтягуванні пружини, можна визначити
за різницею потенціальних енергій
пружини в кінцевому
і початковому
станах:
Потенціальна енергія в початковому стані (пружина не розтягнута) дорівнює нулю. Отже
;
3. Потенціальну енергію пружно деформованої
пружини визначаємо за формулою
.
За законом збереження механічної енергії
(при нехтуванні її втратами), максимальне
значення механічної енергії
28
.
Прирівнявши максимальне значення потенціальної енергії до максимального значення кінетичної енергії, можна знайти максимальне значення швидкості, яку матиме тіло при коливаннях, якщо раптом зникло б земне тяжіння:
Але
Тому
Колову частоту коливань на пружині можна визначити за формулою
.
;
.
Оскільки колова частота пов’язана із
звичайною частотою співвідношенням
,
то
;
.
Період коливань
;
29
Період коливань вантажу на пружині визначають за формулою
. За розтягом пружини під дією вантажу можна знайти жорсткість пружини:
. Отже,
. Формула для визначення періоду коливань нитяного маятника:
. Оскільки періоди коливань обох маятників повинні бути однаковими, то
;
. У нашому випадку
. Тепер виготовляємо нитяний маятник такої довжини, визначаємо експериментально період його коливань і впевнюємося у тому, що цей період дорівнює періоду коливань даного тягаря на пружині.
30