7. Додавання двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань

1 . Нехай матеріальна точка С одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях, що здійснюються з однаковими періодами у двох взаємно перпендикулярних напрямах. З цими напрямами можна зв’язати прямокутну систему координат , розмістивши початок координат у положенні рівноваги точки (рис.5). Позначимо зміщення точки С вздовж осей і , відповідно, через і . Щоб знайти положення коливної точки в який-небудь момент часу , треба для цього моменту часу знайти її зміщення і та побудувати на них прямокутник (рис.5). Кінець діагоналі прямокутника визначає положення коливної точки в момент часу , а відрізок – результуюче зміщення .

Рис.5

13

2. Розглянемо кілька окремих випадків.

а) Початкові фази коливань однакові. Виберемо момент початку відліку часу так, щоб початкові фази обох коливань дорівнювали нулю. Тоді зміщення вздовж осей і можна подати рівняннями:

(34)

(35)

Поділивши почленно ці рівності, знайдемо рівняння траєкторії точки С.

, або .

Отже, внаслідок додавання двох взаємно перпендикулярних коливань точка С коливається вздовж прямої, що проходить через початок координат (рис.5). Такі коливання називаються лінійно поляризованими.

б) Початкова різниця фаз дорівнює . Рівняння коливань для цього випадку мають вигляд:

, (36)

(37)

Рівняння траєкторії точки С:

(38)

Отже, точка С коливається вздовж прямої, що проходить через початок координат, але лежить і в інших квадрантах, ніж у першому випадку (рис.6). Амплітуда результуючих коливань в обох розглянутих випадках

(39)

в) Початкова різниця фаз дорівнює . Рівняння коливань мають вигляд:

, (40)

14

Рис.6

(41)

Поділимо перше рівняння на , друге – на :

; (42)

Піднесемо обидві рівності до квадрату і додамо їх. Дістанемо рівняння траєкторії результуючого руху коливної точки:

(43)

Коливна точка С рухається по еліпсу з півосями і (рис.7). Ми дістали випадок так званих еліптично поляризованих коливань. З’ясуємо, в якому напрямі рухатиметься точка по еліпсу. Для цього, користуючись рівняннями , , знайдемо положення точки С у два наступних моменти часу і позначимо їх на рис.7: для ; ; – точка , для ; ; – точка . Отже, точка С рухається по еліпсу проти стрілки годинника.

15

Рис.7

Пропонуємо довести, що для різниці фаз, яка дорівнює , дістанемо таке само еліптично поляризоване коливання, але точка С рухатиметься за стрілкою годинника. Якщо, крім того, амплітуди обох коливань однакові ( ), то точка С рухатиметься по колу. Такі коливання називаються циркулярно поляризованими.

г) Усі інші різниці фаз, крім розглянутих, дають еліпси, не приведені до осей і .

3. Різні криві, що їх дістають при додаванні взаємно перпендикулярних коливань, прийнято називати фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідношення амплітуд, частот і початкових фаз коливань. Тому в найпростіших випадках частоти двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливань можна порівнювати за формою фігур Ліссажу.