Задача 1.1

Написати рівняння гармонічного коливання, якщо амплітуда коливання дорівнює м, а частота Гц.

Розв’язування 1.1.

Рівняння гармонічного коливання у загальному вигляді маємо:

(1)

Для нашого випадку рівняння гармонічного коливання має вигляд: (2)

Задача 1.2

Коливання вантажу на пружині масою кг описується рівнянням . Визначити:

1. Амплітуду коливання ;

2. Колову частоту ;

3. Частоту ;

4. Період ;

5. Початкову фазу ;

6. Повну енергію ;

7. Максимальну швидкість руху вантажу ;

8. Коефіцієнт жорсткості пружини .

Розв’язування 1.2

При гармонічних коливаннях рівняння коливань у загальному випадку записується так:

22

(1)

де – амплітуда коливання;

– фаза коливання;

– початкова фаза коливання;

– циклічна частота;

– час від початкового моменту.

Тоді згідно умови розв’язком задачі є:

1. Амплітуда коливання =0,1 м.

2. Колова частота .

3. Частоту визначаємо з рівняння . Звідси [Гц].

4. Період . Тоді, знаючи з п.3 [c].

5. .

6. Повна енергія складається із потенціальної і кінетичної . В процесі коливання проходить перетворення кінетичної енергії в потенціальну і зворотній процес. Причому в момент найбільшого відхилення від положення рівноваги повна енергія складається тільки із потенціальної енергії, яка досягає свого максимального значення . А при проходженні системи через положення рівноваги повна енергія складається лише з кінетичної енергії, яка в цей момент досягає найбільшого значення .

Значить повна енергія для нашого випадку слідуюча:

23

7. Максимальна швидкість руху вантажу :

.

8. Коефіцієнт жорсткості пружини знаходимо з порівняння максимальних значень кінетичної і потенціальної енергій:

; ;

.

Задача 1.3

Осцилограма затухаючих коливань має коливань. Амплітуда першого коливання мм і наступного мм. Вважаючи, що час протягом якого відбуваються ці коливання дорівнює , визначити:

1. Період , частоту і колову частоту коливань.

2. Логарифмічний декремент затухання коливань .

3. Коефіцієнт затухання коливань .

4. Сталу часу .

5. Коефіцієнт опору системи .

6. Хвильовий (характеристичний) опір системи .

7. Добротність системи .

Розв’язування 1.3

1. Період коливання визначаємо за формулою , де – час коливання; – кількість коливань, які відбулися протягом цього часу. У нашому випадку , а . Отже, .

24

Частота ; .

Колова частота ; .

2. Логарифмічний декремент затухання , де і – амплітуди коливань, віддалені одна від одної на період. Знаючи і визначаємо .

3. Враховуючи, що амплітуда затухаючих коливань змінюється за формулою:

,

знайдемо значення амплітуд, які відповідають моментам часу, що відрізняються на період (згідно визначення )

.

Одержаний вираз називають декрементом затухання, а його логарифм – логарифмічним декрементом затухання:

.

З приведеного рівняння знаходимо коефіцієнт затухання коливань :

.

4. Стала часу – це є інтервал часу, протягом якого амплітуда коливань зменшується в раз. Цю сталу часу визначають через коефіцієнт затухання ; .

25

5. Коефіцієнт опору системи визначається через коефіцієнт затухання і масу вантажу, що коливається. Для коливань вантажу на пружині .

6. Хвильовий (характеристичний) опір системи для коливань вантажу на пружині визначають за формулою: .

7. Добротність системи визначається відношенням характеристичного опору до коефіцієнта опору , тобто

.

Задача 1.4

Яка частота, амплітуда і початкова фаза коливання, яке задається рівнянням ?

Розв’язування 1.4

1. Частоту коливання знаходимо за формулою ; .

2. Амплітуда коливання м.

3. Початкова фаза коливання рад .

Задача 1.5

Написати рівняння гармонічного коливального руху з амплітудою в 5 см, якщо за одну хвилину виконується 150 коливань і початкова фаза коливань дорівнює .

Розв’язування 1.5

Загальне рівняння гармонічного коливального руху має вигляд: .

Знаходимо, що м.

26

Відомо, що , де ; тоді .

Таким чином, рівняння буде мати вигляд:

.

Задача 1.6

Маємо вантаж на пружині (мал. ). Визначити:

1. Жорсткість пружини.

2. Роботу, виконану силою тяжіння під час розтягування пружини.

3. Максимальну швидкість, якої набуде тіло, що здійснює коливання, якщо зникне сила тяжіння.

4. Колову частоту, частоту і період коливань даного вантажу на пружині (один з варіантів цього завдання можна перевірити експериментально, зібравши демонстраційну установку).

5. Довжину нитяного (математичного) маятника, який матиме такий період коливань, як і даний вантаж на пружині (результат можна запропонувати перевірити експериментально).

Розв’язування 1.6

1. За законом Гука, сила пружності пропорційна деформації тіла:

,

де – жорсткість пружини (коефіцієнт пропорційності між силою пружності і деформацією тіла).

Звідси

27

,

де сила пружності дорівнює силі земного тяжіння, що діє на вантаж:

а деформація

(її можна знайти за початковим і кінцевим положенням стрілки відносно лінійки).

Отже

2. Роботу, виконану силою земного тяжіння при розтягуванні пружини, можна визначити за різницею потенціальних енергій пружини в кінцевому і початковому станах:

Потенціальна енергія в початковому стані (пружина не розтягнута) дорівнює нулю. Отже

;

3. Потенціальну енергію пружно деформованої пружини визначаємо за формулою . За законом збереження механічної енергії (при нехтуванні її втратами), максимальне значення механічної енергії

28

.

Прирівнявши максимальне значення потенціальної енергії до максимального значення кінетичної енергії, можна знайти максимальне значення швидкості, яку матиме тіло при коливаннях, якщо раптом зникло б земне тяжіння:

Але

Тому

4. Колову частоту коливань на пружині можна визначити за формулою . ;

.

Оскільки колова частота пов’язана із звичайною частотою співвідношенням , то ; .

Період коливань ;

29

5. Період коливань вантажу на пружині визначають за формулою . За розтягом пружини під дією вантажу можна знайти жорсткість пружини: . Отже, . Формула для визначення періоду коливань нитяного маятника: . Оскільки періоди коливань обох маятників повинні бути однаковими, то ; . У нашому випадку . Тепер виготовляємо нитяний маятник такої довжини, визначаємо експериментально період його коливань і впевнюємося у тому, що цей період дорівнює періоду коливань даного тягаря на пружині.

30