Доказательство корректности работы алгоритма.
Доказательство корректности работы алгоритма сводится к доказательству Замечаний 1-3 для каждого тела вечного цикла алгоритма.
Рассмотрим два принципиально разных случая.
1. Случай Ap=min{ Ap , Ap+1 , ..., Aq }. Все остальные элементы массива больше Ap.
В конце первого выполнения тела вечного цикла алгоритма i=p, j=p. Все элементы в первой половине множества (она, в данном случае, состоит из одного элемента) оказываются меньше элементов из второй половины. Массив разбивается на половины размерами 1:N-1, где N=q-p+1 – количество элементов в массиве.
2. Все остальные случаи.
Доказательство Замечания 1. При работе алгоритм индексы массива i и j никогда не выйдут за его границы p и q.
Выход за границы массива, потенциально, может произойти только в результате выполнения циклов Пока… или при выполнении операций i + +; j - -; в конце тела вечного цикла алгоритма.
Изначально на первом месте массива стоит Ap = x. В конце выполнения первого тела вечного цикла алгоритма Ap может поменяться местами с элементом меньше либо равным x и в дальнейшем элемент Ap не изменится. Т.о. на первом месте массива всегда будет стоять элемент £ x и в процессе выполнения цикла Пока… j не сможет оказаться меньше p. В результате выполнения операций i + +; j - -; выхода за левую границу массива также не может произойти, т.к. если бы это произошло, то это означало бы, что перед этой операцией выполнялось бы j=p. Но в этом случае оказывается неверным соотношение i < j (т.к. i³p ) и, следовательно, попасть в данную точку алгоритма при этих условиях оказывается невозможным.
Разберемся с правой границей. Если в первый момент Aq ³ x, то j сразу же уменьшится на 1 и впоследствии Aq не изменится. Это гарантирует, что в процессе выполнения цикла Пока… i не сможет оказаться больше q. Если же Aq < x, то после циклов Пока… i и j не изменятся и Ap и Aq сразу же поменяются местами. Далее Aq не изменится и i не сможет превысить q. В результате выполнения операций i + +; j - -; выхода за правую границу массива не сможет произойти по причинам аналогичным обсужденным ранее. Замечание доказано.
Доказательство Замечания 2. В алгоритме никогда не произойдет вечной рекурсии, т.е. при рекурсивном вызове
p £ j < q
Первое из требуемых неравенств доказано выше. Второе также легко доказать. Действительно, если при первом входе в тело вечного цикла алгоритма Aq ³ x, то j сразу же уменьшится, и мы получим требуемое. Иначе, при первом выполнении тела вечного цикла алгоритма в циклах Пока… , i и j не изменятся, поэтому после этих циклов i < j и j обязано уменьшится в конце тела цикла. Замечание доказано.
Доказательство Замечания 3. Алгоритм гарантирует корректное разбиение массива, т.е. после разбиения массива выполняются соотношения
Ak £ x для всех k: p £ k £ j
Al ³ x для всех k: j+1 £ l £ q
Согласно построению алгоритма в конце выполнения тела вечного цикла алгоритма гарантируется, что
Ak £ x для всех k < i
Al ³ x для всех l > j
Т.о. мы сразу же получаем выполнение второго из неравенств Замечания 3. Первое неравенство оказывается более хитрым (именно оно не выполняется при работе алгоритма QuickSort*). В рассматриваемом случае среди элементов правее первого найдется элемент меньше первого, из чего следует, что после первого выполнения циклов Пока… в тела вечного цикла алгоритма i останется строго меньше j, после чего Ai поменяется местом с Aj и выполнится i + +; j - - . Т.о. элемент со значением x далее останется в правой половине массива (этот факт мы используем далее в доказательстве теоремы о среднем времени работы алгоритма QuickSort).
Если после выполнения циклов Пока.. в некотором теле вечного цикла алгоритма окажется, что i > j, то из приведенных соотношений сразу следует первое неравенство Замечания 3. Случай i < j говорит о незавершенности алгоритма. Осталось рассмотреть случай i = j. Этот вариант может реализоваться только в случае, когда Aj = x, тогда получаем, что Ak £ x для всех k < j и Ak = x для всех k = j. Итого, получаем первое неравенство Замечания 3 (в алгоритме QuickSort* этот случай создается искусственно и поэтому первое неравенство из Замечания 3 остается невыполненным).
¢