8. Хвильова функція. Ймовірнісна інтерпретація хвильової функції

Введемо комплексну величину так, щоб густина ймовірності знаходження частинки в певній точці:

= |ψ|²

Величину називають хвильовою функцією. Сама хвильова функція фізичного змісту не має. Фізичний зміст має квадрат модуля цієї функції, який дорівнює ймовірності знаходження частинки в певній точці. Тоді ймовірність знаходження частинки в об'ємі dV :

dP = dV = |ψ|² dV = ψ^* ψ dV ,

де ψ^* комплексна функція спряжена з функцією ψ.

Сума величин ψ^*ψ dV по всьому простору (тобто інтеграл) є ймовірність знаходження частинки деб-то не було в просторі. Але, якщо частинка існує, то вона повинна десь знаходитись. Ймовірність достовірної події завжди дорівнює одиниці. Тому ψ -функція повинна задовольняти умову нормування

(3)

Таким чином, саме поняття хвильової функції свідчить, що квантова механіка має статистичний характер. Вона не дозволяє однозначно визначити місцезнаходження частинки в просторі та траєкторію руху частинки. З її допомогою можна лише передбачити з якою ймовірністю частинка може бути виявлена в різних точках простору. З точки зору квантової механіки такі поняття як місцезнаходження мікрочастинки та траєкторія руху взагалі втрачають сенс.

Треба зауважити, що статистичний характер квантової механіки відрізняється від статистичного руху атомів та молекул для яких це поняття втрачає значення при їх дуже малій кількості. Статистичний характер квантової механіки проявляється навіть при наявності лише однієї частинки. Одна мікрочастинка з певною ймовірністю можу бути виявлена в даному об’ємі.

9. Рівняння Шредінгера

Розвиваючи ідею де Бройля про хвильові властивості частинок австрійський фізик Ервін Шредінгер у 1926 році відкрив рівняння руху мікрочастинок. Це рівняння названо його іменем. Воно являється основним рівнянням нерелятивістської квантової механіки і не виводиться з інших співвідношень. Його справедливість доводиться тим, що всі його розв'язки співпадають з дослідними фактами. Воно встановлене Шредінгером виходячи з оптико-механічної аналогії і має вигляд:

(4)

Тут: m - маса частинки; U(r,t) - потенціал силового поля взятий з протилежним знаком, і = – уявне число, - оператор Лапласа.

Якщо силове поле в якому рухається частинка стаціонарне, то потенціал не залежить явно від часу і функція U має значення потенціальної енергії. В цьому випадку розв'язок рівняння Шредінгера розпадається на два множники, один з яких залежить тільки від координат, а другий тільки від часу:

( 5)

де Е - повна енергія частинки, яка у випадку стаціонарного поля не змінюється.

Підставляємо (5) в (4):

,

спрощуємо

,

отримуємо

(6)

Це рівняння може бути записане так:

(7)

Воно має назву – Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.

Рівняння (7) описує стан частинки який не змінюється з часом і відбувається при постійній енергії частинки. Такий стан називають стаціонарним. Невірно вважати, що частинка в стаціонарному стані рухається по якійсь траєкторії і змінює своє положення з часом. Це рух з класичної точки зору. Рух частинки в квантовій механіці зв'язаний не з перебуванням в стаціонарному стані, а зі зміною стаціонарного стану, тобто при переході з одного стану в інший.