2.7 Імпульс системи тіл. Центр інерції системи . Закон збереження імпульсу

На попередній лекції було введено поняття імпульсу тіла. Імпульсом тіла називається добуток маси тіла на його швидкість. Напрям вектора імпульсу співпадає з вектором швидкості

. (2.13)

Імпульс системи тіл () – це векторна сума імпульсів тіл цієї системи . (2.14)

Імпульс системи тіл можна знайти, ввівши поняття положення (r_c) центра мас системи. Радіус-вектор центра мас визначається рівнянням:

. (2.15)

Взявши похідну за часом, одержимо

, звідки маємо, що імпульс системи тіл дорівнює добутку маси системи на швидкість руху її центра мас .

Нехай два тіла m₁ і m₂ взаємодіють з силами f₁ і f₂. На них діють зовнішні сили F₁ і F₂. Позначимо V₁₀ і V₂₀ - швидкості тіл в момент часу t, V₁ і V₂ - швидкості в момент часу t+∆t. Запишемо другий закон Ньютона для кожного тіла

Додаємо ці рівняння

. (2.16)

По третьому закону Ньютона як внутрішні сили.

Якщо на систему тіл не діють зовнішні сили, або сума зовнішніх сил дорівнює нулю, то така система називається замкнутою. Для такої системи із (3.4) одержуємо

, або (2.17)

тобто векторна сума імпульсів замкнутої системи залишається незмінною. Це закон збереження імпульсу. Якщо ж система не замкнута, то її імпульс змінюється на величину імпульсу зовнішніх сил .

2.8 Механічна робота. Потужність

Поняття механічної роботи пов’язане з переміщенням. Якщо під дією сили тіло переміщується на відстань , то елементарна механічна робота дорівнює скалярному добутку сили на переміщення.

(2.18)

На графіку залежності сили від переміщення вона відповідає площі заштрихованої області. Вся робота змінної сили знаходиться як інтеграл

(2.19)

і чисельно дорівнює площі, обмеженої лініями r₁, r₂, віссю Or абсцис і кривою F(r). Вимірюється робота в джоулях [A]=H∙м = Дж.

Потужність (Р,N) – це швидкість виконання роботи, тобто це робота, виконана за одиницю часу

(2.20)

і дорівнює скалярному добутку сили і швидкості. Вимірюється потужність у ватах [P] = Дж/с = Вт. Позасистемною одиницею потужності є кінська сила 1к.с. = 736 Вт.

2.9 Поняття про енергію. Кінетична та потенціальна енергії

Фізична величина, яка характеризує здатність тіла виконувати роботу, називається енергією.

Повна механічна енергія поділяється на кінетичну і потенціальну енергії.

Здатність тіла виконувати роботу за рахунок руху тіла називають кінетичною енергією.

Здатність тіла виконувати роботу за рахунок зміни взаємного положення тіл або взаємного положення частин тіла (тобто за рахунок деформації) називається потенціальною енергією.

Вимірюється енергія в одиницях роботи, в Дж.

Знайдемо вираз для кінетичної енергії, яка дорівнює роботі тіла за рахунок руху до зупинки.

(2.21)

Знак (-) мінус показує, що кінетична енергія при виконанні роботи зменшується. Кінетична енергія не може бути від’ємною, тобто Е_к ≥ 0.

Потенціальна енергія (енергія положення) вимірюється роботою, яку необхідно виконати зовнішнім силам, щоб перевести систему без зміни її кінетичної енергії із одного стану в інший.

Знайдемо потенціальну енергію тіла масою m в гравітаційному полі тяжіння Землі. Початкове і кінцеве положення тіла будемо задавати його висотами h₁ і h₂ над поверхнею Землі. Для переміщення тіла без зміни його кінетичної енергії (без зміни швидкості), тобто для рівномірного переміщення із положення 1 в положення 2, до нього, у відповідності з першим законом Ньютона, необхідно прикласти силу . Тоді робота сили тяжіння

. (2.22)

Одержали, що робота сили тяжіння дорівнює зміні потенціальної енергії ∆Е_п = - mg∆h, а не самій потенціальній енергії. Мінус вказує на те, шо при виконанні силою тяжіння роботи, потенціальна енергія тіла зменшується. На відміну від кінетичної, для потенціальної енергії необхідно встановити її нульовий рівень, причому цей рівень задається довільно. Якщо потенціальна енергія на поверхні Землі дорівнює нулю, то на висоті h вона буде становити

. (2.23)

Потенціальна енергія може, на відміну від кінетичної, бути від’ємною (див. рисунок).

Знайдемо роботу сил пружності пружини при її розтягуванні від х₁ до х₂. Сила пружності .

(2.24)

Прийнявши за нульовий рівень потенціальної енергії стан недеформованої пружини, одержимо потенціальну енергію деформації

. (2.25)