1surovtsev_v_a_f_p_ramsey_i_programma_logitsizma

то условия истинности данного неатомарного высказывания примут следующий вид:

Т а б л и ц а 2

Таким образом, условия истинности неатомарных высказываний находятся в функциональной зависимости от истинностных возможностей, предоставляемых им атомарными высказываниями, из которых они построены. Функции, которые устанавливают такое согласование, Витгенштейн называет функциями истинности.

Отвлечёмся теперь от приведённого примера. Если p и q задать произвольно, то для построенного из них неатомарного высказывания можно задать все возможные функции истинности, которые при согласовании отбирают истину для одних возможностей и ложь для других.

В этом случае выборки будут находиться в спектре от отбора истины для всех возможностей до отбора для всех возможностей лжи. Для двух атомарных высказываний p и q это можно выразить в следующей таблице, где каждый столбец указывает на одну из возможных выборок согласования (т.е. представляет собой один из возможных столбцов, который мы могли бы построить для предыдущей таблицы):

Двум атомарным высказываниям соответствуют16 возможных функций истинности, определяющих условия истинности неатомарных высказываний. Подобный подход нетрудно распространить на произвольное число атомарных высказываний. Как уже говорилось, при n атомарных высказываниях число истинностных возможностей

равно 2n. Тогда число выборок условий истинности построенных из них неатомарных высказываний, заданных всеми возможными

функциями истинности, равно 22n . Если n равно 2, как в примере с последней таблицей, тогда возможных выборок будет16, если n равно 3, тогда возможных выборок будет 64 и т.д.

Отметим, что подобный подход распространялся пока только на те неатомарные высказывания, где n было заранее заданным, конечным числом. Это связано со спецификой рассматриваемых до сих пор логических союзов, которые их связывают. Действительно, ‘или’, ‘не’, ‘и’ (или символически ‘Ú”, ‘~’, ‘×’ соответственно) всегда относятся к конечному числу атомарных высказываний, объединяя их в неатомарные высказывания. Подобный подход к неатомарным высказываниям, затрагивающий конечное число атомарных высказываний, не является новацией Витгенштейна, он использовался уже Г. Фреге [41, С. 71–78.], но главной заслугой Витгенштейна Рамсей считает то, что он

осознал, что если мы принимаем такое рассмотрение истинностных функций как выражение согласования или несогласования с истинностными возможностями, то нет причин, по которым аргументы истинностных функций не являлись бы бесконечными по числу [17. С. 23].

От себя мы добавим, что в данном случае речь может идти не только о ‘бесконечных по числу’, но даже просто о необозримых или неизвестных конечных числах атомарных высказываний. Возьмём, к примеру, высказывание «Все философы мудрецы». Очевидно, во-первых, что оно не является атомарным, поскольку не содержит имён индивидов, а указывает на их некоторую совокупность. Вовторых, эта совокупность может быть как конечной, так и бесконечной. Поэтому, можно говорить, что здесь неизвестность объёма данной совокупности уравнивает подход к конечным и бесконечным множествам предметов. Но как подходить к подобного рода высказываниям? С точки зрения логики ключевым здесь является слово ‘все’, поскольку оно не относится к содержательным особенностям данного высказывания, но характеризует формальную связь элементов его содержания. Таким образом, анализ подобных высказываний сводится к анализу функционирования слов ‘все’ и ‘некоторые’.

Начнём с атомарного высказывания «Сократ – философ» и обратим внимание на присутствующее здесь имя‘Сократ’. Нетрудно за-

метить, что это имя мы можем заменить другим, например, ‘Платон’, в этом случае получится высказывание«Платон – философ». В таком случае место, на котором стоит имя ‘Сократ’, можно заменить переменной, получив выражение ‘х – философ’. С точки зрения Витгенштейна, это выражение является функцией, областью определения которой является множество высказываний, в которых переменная заменена именами. Так, областью определения функции ‘х – философ’ являются высказывания «Сократ – философ», «Платон – философ», «Алкивиад – философ» и т.д. Областью значения данной функции выступают истинность и ложность атомарных высказываний. При таком подходе функция‘х – философ’ согласует с атомарными высказываниями «Сократ – философ» и «Платон – философ» значение ‘истина’, а с атомарным высказыванием «Алкивиад – философ» – значение ‘ложь’.

Следуя Рамсею, выражения типа ‘х – философ’ будем называть пропозициональными функциями и обозначать как‘fx’. Тогда, областью определения такой пропозициональной функции будет множество атомарных высказываний вида‘fa’, ‘fb’, ‘fc’

и т.д. (где ‘a’ ‘b’ ‘c’ и т.д. суть имена индивидов). Нетрудно заметить, что этому множеству атомарных высказываний будет соответствовать множество их возможностей истинности, которое по числу будет 2n (при этом неважно, конечно и известно n, не известно или бесконечно). С возможностями истинности атомарных высказываний можно сопоставить их согласования или несогласования с условиями истинности неатомарных высказываний, метод построения которых предлагает Витгенштейн. Здесь уже не годятся выражения связи известного конечного числа атомарных высказываний типа ‘или’, ‘не’, ‘и’. Согласованность или несогласованность в данном случае выражают фразы ‘все’ и ‘некоторые’, которые в условиях неопределённости числа n указывают, берётся ли вся область определения пропозициональной функции или ка- кая-то её часть. Используя символические выражения‘(х) . fx’ и ‘($x) . fx’, мы можем указать, что все или некоторые высказывания, построенные в соответствии с пропозициональной функцией ‘fx’, являются истинными. Другими словами, высказывание вида ‘(х) . fx’ будет истинным, если будут истинными все высказывания вида ‘fa’, ‘fb’, ‘fc’, а высказывание вида ‘($x) . fx’ будет истинным, если будет истинным хотя бы одно из высказываний ви-

да ‘fa’, ‘fb’, ‘fc’.

В этом отношении выражения общности‘все’ и ‘некоторые’ можно соотнести с конъюнкцией и дизъюнкцией, т.е. с выражениями ‘и’ и ‘или’, поскольку согласованность и несогласованность истинностных возможностей высказывания ‘(х) . fx’ соответствует такому согласованию для высказывания ‘fa × fb × fc × …’, а согласованность и несогласованность истинностных возможностей высказывания ‘($x). fx’ будет соответствовать такому согласованию для высказывания ‘fa Ú fb Ú fc Ú …’, так как истинными они будут при одних и тех же условиях.

Нетрудно заметить, что подобный подход можно распространить на случаи, где пропозициональная функция включает более чем одну переменную или с помощью логических союзов комбинируется с другими пропозициональными функциями, как, например, в приведённом выше примере «Все философы мудрецы», который должен рассматриваться как комбинация утверждения общности и условной связи и формально представляться следующим образом: ‘(x) . fx É qx’1. Главное следствие подобного анализа состоит в том, что выражения общности можно уподобить логическим союзам. Распределение истинностных возможностей первых будет точно таким же, как и у вторых, и простираться от согласования всех их выборок до несогласования ни одной из них. Т.е. для любого неатомарного высказывания типа ‘(х) . fx’ будет 2n истинностных возможностей дляn

атомарных высказываний вида ‘fa’, ‘fb’, ‘fc’ и т.д. и 22n возможностей их согласования и несогласования, которые распределяются точно так же, как в табл. 3.

Из распределения согласований и несогласований наибольший интерес вызывают первый и последний случай, т.е. когда согласуются все выборки возможностей истинности и не согласуется ни одна (для табл. 3 – это первый и последний столбец). Эти случаи Витгенштейн называет тавтологией и противоречием соответственно. Таким образом, тавтология – это неатомарное высказывание, кото-

1 Этот подход вполне согласуется с точкой зрения Рассела, выраженной в статье «Математическая логика, основанная на теории типов», на подобные утверждения общности: «Поскольку все люди смертны, то какой-то ложной пропозиции, являющейся значением функции ‘Если х – человек, то х - смертен’, быть не может. Ибо, если она вообще является пропозицией, условие ‘х – человек’ должно быть пропозицией, таковой должно быть и следствие‘х – смертен’. Но если условие– ложно, то условное высказывание истинно; а если данное условие истинно, то это условное высказывание– истинно. Следовательно, ложной пропозиции формы ‘Если х – человек, то х – смертен’ быть не может» [27. С. 34].

рое истинно при любых возможностях истинности составляющих его атомарных высказываний, а противоречие – это неатомарное высказывание, которое при любых возможностях истинности – ложно. Тавтологии и противоречия могут быть любого вида. Например,

‘p Ú ~p’ и ‘(x) . fx : É : fa’ – тавтологии, а ‘(p × ~p)’, ‘~ . ($x) . fx : fa’ – противоречия1. Конечно, выражения типа ‘p Ú q’ указывают на конечное число атомарных высказываний, а выражения типа‘(х). fx’– на бесконечное. Но анализ одинаков, одинаковы и следствия. Суть тавтологий и противоречий от этого не изменится. Тавтологии и противоречия могут быть какой угодно степени сложности, важно лишь то, что метод Витгенштейна в принципе позволяет опознать их как тавтологии и противоречия. Тавтологии и противоречия тесно связаны, поскольку, отрицая одно, мы получаем другое и наоборот.

Особенность истинностной оценки тавтологий и противоречий приводит Витгенштейна к тому, что он не считает их подлинными высказываниями. Подлинное высказывание, согласуя или не согласуя свои истинностные возможности, нечто утверждает о реальности, тогда как тавтологии и противоречия, которые истинны или ложны при любых условиях, ничего не говорят о реальности, но являются частью символической системы. С этим согласен и Рамсей:

Подлинная пропозиция нечто утверждает о реальности, она является истинной, если реальность такова, как утверждается. Но тавтология – это символ, сконструированный с тем, чтобы ничего не говорить о реальности, но выражать полное неведение, согласуясь с любой возможностью [17. С. 27].

Именно тавтологии и противоречия Витгенштейн, и вслед за ним Рамсей, рассматривает как предложения логики. Если, согласуясь с традицией Лейбница и Канта, утверждения логики считать аналитическими, то их смысл состоит как раз в том, что они не имеют отношения к действительности, их истинность или ложность обосновывается через них самих. Таким образом, понятие ‘тавтология’ получает чётко определённый смысл. Но теория Витгенштейна, используемая для решения затруднений, возникающих в структуреPМ, важна для Рамсея как минимум ещё в двух отношениях:

1Здесь и далее используется символика, принятая в PM, которую употребляет Рамсей

иобъяснение которой дано воВведении. Исключение составляют цитаты современных авторов, символика которых без труда переводима в символику РМ.

1. Способ построения функций истинности, согласующих истинностные возможности атомарных высказываний в рамках неатомарных, могут быть построены и выражены разными способами. Вернёмся, например, к табл. 2. Представленная в ней функция согласования соответствовала выражению ‘p Ú ~q’. Однако то же самое согласование можно выразить с помощью ‘~(p × ~q)’, поскольку и то, и другое выражения истинны, когда p – истинно, или q – ложно. То же самое относится к высказываниям, включающим общность указания.

Например, одному и тому же согласованию будут соответствовать выражения ‘~ (х) . fx’ и ‘($x) . ~fx’. Отсюда вытекает, что необходимо различать само выражение и то, что оно выражает. Рамсей утверждает, что

два пропозициональных символа должны рассматриваться как примеры одной и той же пропозиции – а именно, когда они выражают согласование и несогласование с одним и тем же множествомис тинностных возможностей атомарных пропозиций [17. С. 25].

2. Теория Витгенштейна позволяет объяснить, почему тавтологии и противоречия обычно приравниваются к подлинным высказываниям. Рамсей считает, что

ассимиляция тавтологий и противоречий к истинным и ложным пропозициям соответственно вытекает из того факта, что тавтологии и противоречия могут рассматриваться в качестве аргументов истинностных функций так же, как обычные пропозиции, а при определении истинности или ложности истинностной функции тавтологии и противоречия среди её аргументов должны считаться за истинные и ложные соответственно [17. С. 27].

Однако конъюнктивное присоединение тавтологии к любому высказыванию не меняет условий его согласования. В этом смысле тавтологии при описании реальности являются излишними, поскольку, если ‘t’ – тавтология, то ‘t и р’ суть то же самое, что и ‘p’. Тавтологии и противоречия могут функционировать в структуре выражения неатомарных высказываний, но они оказывают иное воздействие на условия истинности, чем подлинные высказывания.

Эти два положения оказываются важными при трансформации некоторых утверждений из PM, и к ним мы вернёмся ниже. Пока же остановимся на понятии ‘тавтология’, охарактеризовав с его помощью задачу, стоящую перед Рамсеем.

1.3. Задача Рамсея

Следуя Витгенштейну, Рамсей считает, что все высказывания, имеющие характер логических истин, являются тавтологиями. Именно признаком тавтологичности следует дополнить предложения математики, чтобы обосновать программу логицизма. Действительно, ни Г. Фреге, ни Б. Рассел, указав необходимый критерий математических истин, их обобщённость, не установили критерий достаточный, без которого вся программа логицизма повисает в воздухе. Важность этого критерия связана ещё и с тем, что другие, отличные от логицизма направления в основаниях математики, в отсутствие критерия достаточности не принимали некоторые положения PM, сомневаясь в их логическом характере. Рамсей выдвигает в качестве достаточного критерия свойство тавтологичности в смысле Витгенштейна и утверждает, что к существу математических пропозиций относится то, что «их содержание должно быть совершенно обобщённым, а их форма – тавтологичной» [17. С. 21]. Другими словами, «адекватную теорию мы можем получить, только рассматривая математику как составленную из тавтологичных обобщений» [17. С. 21]. Поэтому реабилитация программы логицизма состоит для Рамсея как раз в том, чтобы все обобщённые предложения, принятые в качестве исходных Расселом, либо трактовать как тавтологии в смысле Витгенштейна, либо удалить их как не соответствующие критерию достаточности1.

1 Р. Карнап, рассматривая историю становления программы логицизма [48. P. 31– 41), различает два тезиса логицизма: тезис определимости и тезис доказуемости. Математика сводима к логике в смысле первого тезиса, если все понятия математики посредством явных определений могут быть выведены из понятий логики(в частности, понятие числа должно быть определено в рамках логической системы только с использованием логических союзов, кванторов и равенства). Реализация тезиса доказуемости должна привести к тому, что, при условии выполнения первого тезиса, все теоремы арифметики выводимы из аксиом логики с использованием стандартных логических процедур. Р. Карнап утверждает, что Фреге и Рассел понимали программу логицизма в смысле выполнимости первого тезиса. И только Рамсей, с точки зрения поставленной им задачи дополнить признак полной обобщённости предложений математики признаком их тавтологичности, по сути дела уже предвосхитил, как считает Карнап, его дистинкцию, осознав недостаточность выполнения первого тезиса. Ср. также и утверждение Санду: «Для Рамсея логицистская программа, которая редуцирует математику к классу пропозиций, содержащих только константы (включая равенство), но не показывает, что эти пропозиции являются тавтологиями, останавливаются на полпути, поскольку она показывает только то, что математические высказывания предполагают полную общность, не показывая, однако, что они предполагают полную необходимость. В этом случае правильно сказать, что дистинкция

Если обратиться к структуреPM, то нетавтологичными обобщениями здесь представляются три аксиомы: Сводимости, Бесконечности и Мультипликативности. Все эти положения, являясь совершенно общими, не удовлетворяют принципу тавтологичности и, следовательно, не могут претендовать на статус положений логики. Действительно, если исходить из того, что логика, к которой сводима математика, отличается тавтологичностью содержания, то эти положения могут претендовать только на обобщение эмпирических фактов. Именно эти три положения вызывают сомнение в своей логической природе у критиков логицизма, да и, как можно судить по некоторым высказыванием, у самого Рассела, поскольку предполагают существование вещей1.

Реабилитация программы логицизма по существу связана именно с этими тремя положениями. Если это так, то перед Рамсеем встаёт альтернатива: либо в структуре логики и математики они излишни, либо они должны быть переинтерпретированы таким образом, чтобы их можно было трактовать как тавтологии. Первую альтернативу Рамсей избирает для аксиомы сводимости, вторую – для аксиом мультипликативности и бесконечности.

Возникает, однако, вопрос, почему в структуреPM эти три положения в принятой в этом труде формулировке оказались вполне совместимыми с логицизмом? Рамсей связывает это с тремя принципиальными недостатками PM:

1.Затруднения с преодолением противоречий, все из которых Рассел связывает с так называемым ‘принципом порочного круга’.

2.Неадекватная трактовка экстенсиональности математики, основанная на допущении только определимых классов. В PM даётся «определение класса, которое применяется только к определяемым классам, так что все математические пропозиции о некоторых или всех классах истолковываются неправильно» [17, С. 42].

Карнапа между двумя видами редукции математики к логике отзывается эхом в более ранней дистинкции Рамсея между теми математическими высказываниями, которые обладают полной общностью, и теми, которые являются необходимыми. С оглядкой на эту дистинкцию мы можем сказать, что существенная часть работы Рамсея в основаниях математики состояла в том, чтобы улучшить систему Principia так, чтобы она сохранила только те аксиомы, которые являются тавтологиями (в смысле Витгенштейна)» [86. P. 238].

1 В книге«Введение в математическую философию» Рассел, в частности, пишет: «Примитивные суждения в Principia Mathematica таковы, чтобы был возможен вывод о существовании по крайней мере одного индивида. Но сейчас я рассматриваю это как дефект логической чистоты» [25. С. 218].

3. Неправильная трактовка тождества (равенства), используемого при определении классов. В качестве определения тождества Рассел принимает тождественность неразличимых, но «данное определение интерпретируется неверно, поскольку оно не определяет тот смысл, в котором действительно используется символ тождества»

[17. С. 50].

Эти три недостатка тесно взаимосвязаны, но, как показывает Рамсей, можно установить их соответствие с указанными выше аксиомами. Преодоление противоречий в рамках разветвлённой теории типов приводит к необходимости введения аксиомы сводимости, истинность которой нет причин предполагать, поскольку «если бы она и была истинной, то это было бы счастливой случайностью, а не логической необходимостью, ибо она не является тавтологией» [17. С. 47]. Неправильная трактовка экстенсиональной установки математики приводит к специфическому пониманию аксиомы мультипликативности:

Это неверное понимание не просто вызывает возражение, когда рассматривается само по себе, оно особенно пагубно в связи с аксиомой мультипликативности, которая при надлежащей интерпретации является тавтологией, но при неверном понимании, на манер Principia Mathematica, становится значимой эмпирической пропозицией, истинность которой нет причин предполагать [17. С. 42].

Наконец, трактовка тождества приводит к эмпирическому пониманию аксиомы бесконечности, ибо

как ошибочное определение классов особенно неудачно в связи с аксиомой мультипликативности, так и ошибочное определение тождества особенно вводит в заблуждение в связи с аксиомой беско-

нечности» [17. С. 52].

Устранение этих трёх недостатков должно привести к корректировке программы логицизма, согласовав его с достаточным критерием, полученным из теории тавтологий Витгенштейна.

Но прежде, чем обратиться к новациям Рамсея, рассмотрим некоторые особенности логицистской программы в основаниях математики в том виде, в котором она представлена в PM, особое внимание уделяя тем её моментам, которые вызывают сомнение в логической природе её основоположений.

1.4.Логицизм PRINCIPIA MATHEMATICA

1.4.1.Определение натурального числа у Г. Фреге

Как указывалось выше, начальный пункт программы логицизма заключается в определении терминов математики в терминах логики. В общих чертах эту задачу попытался осуществить. ФрегеГ, сводя основное понятие математики, понятие целого положительного числа, к категориям логики [40]. Он отказывается от натуралистической и психологической трактовки чисел, резко критикуя представления о том, что числа являются свойством вещей реального мира или характеристикой субъективных психологических представлений. Действительно, когда мы говорим, например, что у Марса есть два спутника, мы не имеем в виду, что двойка – это какая-то их реальная характеристика, наподобие формы, размера или массы. Физические свойства спутников вполне могли бы измениться, но при этом их всё равно осталось бы два. Число не является физическим свойством, он не изменяется с изменением последних. Оно вообще не является свойством в обычном смысле, например, в том смысле, в котором свойством является цвет. Можно говорить, что у спутников Марса одинаковый или разный цвет, но вряд ли можно говорить, что у них одинаковое или разное число.

В ещё меньшей степени можно считать числа характеристикой субъективных представлений. Действительно, мы можем рассматривать Марс и его спутники как три небесных тела, а можем рассматривать как систему тел, состоящую из двух элементов, планеты и её сателлитов. Но это столь же мало характеризует наши представления, как и сами небесные тела. Поскольку, если бы это было так, у каждого было бы своё представление о числе, и никакой объективный счёт был бы невозможен.

Фреге считает, что, когда мы говорим о двух спутниках Марса, мы имеем в виду, что под понятие ‘число спутников Марса‘ подпадает ровно два предмета или, что то же самое, объему понятия ‘число спутников Марса’ принадлежит ровно два предмета. Таким образом, он предлагает рассматривать числа как характеристики понятий, которые, в его понимании, хотя и не являются предметами реального мира, обладают достаточной степенью объективности, поскольку не составляют содержание психической жизни отдельного человека, но являются достоянием многих.