1surovtsev_v_a_f_p_ramsey_i_programma_logitsizma

Здесь, ссылаясь на Аристотеля, он приводит следующий аргумент: даже если считать, что наряду с истинными и ложными высказываниями есть ещё какие-то, скажем сомнительные, высказывания, то вполне можно задать вопрос о том, является ли данное высказывание сомнительным или же нет. Сомнения относительно истинности или ложности ответа на данный вопрос порождают следующий вопрос о сомнительности или несомненности данного ответа и т..д, до бесконечности. Подобная бесконечность свидетельствует в поль-

зу того, что сомнения в обоснованности закона исключённого третьего столь же не обоснованы, как и сам этот закон. Таким образом, даже если в пользу закона исключённого третьего и нет достаточных априорных оснований, то их также нет и против него. Если же учесть, что «Брауэр неспособен оправдать многое из обычной математики» [18, С. 92], то проще принять закон исключённого третьего, нежели от него отказаться.

Сомнения, касающиеся формалистского направления Д. Гилберта, относятся в основном к пониманию того, с чем имеет дело реально работающий математик. С точки зрения формалистов, математика разыгрывает некоторую игру с символами, записанными на бумаге. При этом некоторые последовательности символов рассматриваются в качестве исходных утверждений, или аксиом, из которых, посредством фиксированных правил преобразования (иначе, правил вывода) выводятся новые последовательности символов. При этом правила преобразования рассматриваются как достаточные условия получения того, что заложено в исходных утверждениях. Таким образом, с точки зрения Рамсея, формалистское направление Гилберта сводится к выполнению двух следующих действий: во-первых, необходимо задать, какие последовательности символов являются исходными; во-вторых, необходимо задать правила, посредством кото-

рых из исходных последовательностей символов можно получать новые последовательности символов.

Подобные преобразования не выходят за рамки операций со значками, написанными на бумаге. Разыгрываемая игра, по сути дела, представляет собой то, что мы, согласно принятым правилам, можем получить, преобразуя одни последовательности значков в другие. Критерий преобразования значков выводится в этом случае за рамки самой математики в область так называемой метаматематики, которая определяет, какие преобразования приемлемы. Именно метаматематика решает, что та или иная последовательность

12 Ф.П. Рамсей и программа логицизма

символов может интерпретироваться как допустимое математическое утверждение. Таким образом, с точки зрения Гилберта, работа математика должна заключаться, во-первых, в том, что он принимает некоторые последовательности символов в качестве исходных утверждений (или аксиом), во-вторых, в том, что он принимает определённые правила преобразования, посредством которых из аксиом можно получать следствия. Работа же метаматематика сводится к тому, чтобы установить, какие аксиомы и правила преобразования допустимы. Здесь главным ,и пожалуй, единственным критерием

выступает требование непротиворечивости всех возможныхпо строений новых последовательностей символов из исходных последовательностей символов, согласно правилам преобразования, что сводится к невозможности построения символа определённого вида.

Другими словами, если при принятых исходных последовательностях символов и при принятых правилах преобразования исходных последовательностей в новые мы не можем получить символ определённого вида, то математическое доказательство является вполне обоснованным. В метаматематике основное значение приобретает доказательство непротиворечивости, т.е. доказательство невозможности построения символа определённого вида, например 0 ¹ 0. Но остаются вопросы: на каких основаниях последовательности символов определённого вида принимаются за аксиомы и почему некоторые последовательности символов считаются недопустимыми?1 Как утверждает Рамсей,

чтобы ни делал математик, он определённо оставляет значки на бумаге, и поэтому эта точка зрения безусловно истинна; но трудно

1 В рукописи, озаглавленной «Формализм», Рамсей более определённо выказывает сомнение в формализме применительно к поставленной перед собой задаче улучшить программу логицизма: «Главная цель метаматематики заключается в том, чтобы доказать, что заданное множество аксиом не может породить противоречие. Математический прогресс состоит: (1) в выведении новых формул из аксиом; (2) в добавлении новых аксиом и доказательстве того, что противоречие не возникает. Поэтому формализм не имеет общего очевидного преимущества в отношении достоверности. Здесь выдвигаемые преимущества связаны с 3 аксиомами: (1) сводимости; (2) мультипликативности; (3) бесконечности, в которых мы не можем быть уверены и в отношении которых было бы интересно получить доказательство, не предполагая, что они не могут привести к противоречию. Такое доказательство могло бы быть задано независимостью значения, но оно не даёт нам аргумента в пользу формализма» [81. С. 184]. Таким образом, Рамсей считает, что доказательство того, что присоединение дополнительных аксиом к исходной системе не приводит к противоречию, конечно, имеет значение, но для их понимания необходимо дополнительное обоснование, выходящее за рамки символических преобразований.

предположить, что в этом вся истина. Должна быть некоторая причина для выбора аксиом и какая-то причина, по которой особый значок 0 ¹ 0 рассматривается с таким предубеждением [18. С. 95].

Ответ заключается в том, что аксиомы и правила игры со значками задаются таким образом, чтобы противоречие получить было невозможно. Это достигается именно тем, что рассматриваются исключительно значки на бумаге, которые конечны и обозримы. Усомниться можно в значении математических понятий, используемых в реальной работе математика и в повседневной жизни. Но если принять точку зрения формализма, то усомниться в использовании значков нельзя, поскольку значки на бумаге осязаемы и перечислимы. Однако, как считает Рамсей,

приняв всё это за само собой разумеющееся, всё ещё необходимо спросить, какое предназначение или достоинство заключается в той игре, которую разыгрывают математики, если это действительно игра, а не форма знания. Единственный ответ, который даётся, состоит в том, что некоторые формулы математиков имеют значение или же им можно было бы его придать и что, если эти формулы могут быть доказаны в символической системе, их значение будет истинным [18. С. 96].

Действительно, в повседневной жизни используются не значки на бумаге, а реальное содержание понятий. Например, если у меня есть две собаки и две кошки, я могу сделать вывод, что у меня четыре домашних животных. И здесь ‘2 + 2 = 4’ используется отнюдь не как символическое соглашение, имеющее значение только в рамках определённой игры со значками. Оно указывает на действительное соотношение предметов1.

Но всё-таки в большей степени возражения Рамсея против -ин туиционизма и формализма касаются не столько самих их программ обоснования математики, сколько понимания общих и экзистенциальных утверждений.

В рамках интуиционизма основные претензии Рамсея касаются Г. Вейля, который в отличие от Брауэра исповедует‘умеренный’ интуиционизм, не отказывая в применении закона исключённого

1 Здесь позиция Рамсея вполне согласуется с критикой .ГФреге понимания математических преобразований только лишь как преобразований значков, написанных на бумаге: «Символы есть только средство использования – хотя и очень полезное, даже неизбежное, а не его объекты. Эти последние представлены посредством символов» [40. С. 240].

ствительного поиска. В результате, математика должна быть весьма значительно изменена [18. С. 94].

Значительное изменение математики Рамсей считает неприемлемым. Общие и экзистенциальные утверждения должны трактоваться так, чтобы всё, что достигнуто обыкновенной математикой, оставалось обоснованным и не связывалось бы с затруднениями в применении определённых процедур доказательства.

Аналогичные претензии Рамсей предъявляет формалистской позиции Д. Гилберта. Значки на бумаги не дают действительного утверждения об общности некоторого свойства, поскольку касаются конкретных преобразований на бумаге. Эти преобразования могут относиться только к конкретным числам и не выходят за рамки арифметики. Тогда возникает вопрос: Как возможна алгебра? Гилберт рассматривает переменные, используемые в алгебраических формулах, которыми заменяются конкретные, перечислимые значки на бумаге, в качестве идеалов. Эти идеалы служат заменой значкам. Они, по существу, служат сокращениями для того, что не может быть записано за конечную или обозримую последовательность шагов. Но чем являются такие сокращения? Очевидно, что они не могут заменить подлинных общих или экзистенциальных утверждений, поскольку утверждают о всех или некоторых значках обоснованно в не большей степени, чем кванторные утверждения, использующие выражения ‘все’ и ‘существует’. Кроме того, все преобразования в рамках натурального ряда, хотя и не всегда обозримы, – всегда конечны. Таким образом, оказывается, что алгебра совершенно бесполезна, поскольку сводится к арифметике, вычисляющей значки, записанные на бумаге. Рамсей утверждает:

Затруднительно видеть, каким образом предполагается использовать эти идеалы, ибо собственно математика, по-видимому, сводится к элементарной арифметике, не допускающей даже алгебры, поскольку сущность алгебры в общих утверждениях. Любое же высказывание арифметики может быть легко проверено или доказано без использования высшей математики, которая, если её существование предполагается только ради простой арифметики, кажется совершенно бесцельной [18, С. 97].

Тем не менее, как считает Рамсей, «явно индивидуальные факты простой арифметики кажутся мне на самом деле общими» [18. С. 99]. Любое утверждение о каком-то предмете уже предполагает

16 Ф.П. Рамсей и программа логицизма

возможность экзистенциального обобщения, либо отталкивается от общего закона. Действительно, сингулярное утверждение о том, что у меня есть собака по имени‘Ральф’ уже ведёт к утверждению с кванторным выражением, что эта собака есть, а значит, вообще есть какие-то собаки. При этом скорее общее утверждение свидетельствует в пользу того, что мы можем привести пример, а не сингулярное утверждение позволяет сделать вывод, что предметы с заданными свойствами существуют. Обратимся к Рамсею:

Предположение, что общее и экзистенциальное знание существует просто ради индивидуального знания, кажется мне совершенно ложным. В теоретизировании нас в принципе восхищает его общность, и в обыденной жизни вполне достаточно знать, что на неком поле пасётся бык, и нет никакой пользы в том, чтобы, вместо како- го-то быка на каком-то поле, знать, что это за бык и где это поле [18.

С. 100].

Однако, с точки зрения Рамсея, главное не в том, что по некоторым основаниям интуиционизм и формализм отказываются от того, чтобы считать общие и экзистенциальные утверждения подлинными суждениями, являющимися истинными или ложными, со всеми вытекающими отсюда последствиями, вплоть до отмены закона исключённого третьего. Главное то, что эти сомнения можно преодолеть, используя теорию Витгенштейна.

С помощью теории Витгенштейна Рамсей, как указывалось выше, собирается преодолеть и недостатки логицизма в версии PM. Но подобная формулировка цели требует рассмотрения, во-первых, что в основаниях математики Рамсей понимает под логицизмом, ивовторых, почему подход, сформулированный Расселом и Уайтхедом, вызывает у него серьёзные возражения. Ответ на первый вопрос Рамсей формулирует непосредственно, поскольку, следуя представителям логицизма, считает, что

логическая школа концентрируется на анализе математических понятий, относительно которых показывается, что они определимы в терминах очень небольшого числа фундаментальных логических понятий. Предпринимая такое рассмотрение понятий математики, они сразу же получают рассмотрение математических пропозиций, а именно, что они являются теми истинными пропозициями, в кото-

рых встречаются только математические или логические понятия

[17. С. 18].

Таким образом, логицистская программа в основаниях математики сводится для Рамсея к тем же самым задачам, которые в явном виде присутствовали уже у Г. Фреге и наиболее полное выражение получили в формулировке задач, которые Рассел и Уайтхед ставят в PM:

(1) основополагающие понятия математики должны быть определены с помощью понятий логики; (2) в результате такого переопределения все истины математики должны стать истинами логики1.

Со вторым вопросом дело обстоит сложнее, поскольку при ответе на него, как считает Рамсей, необходимо выяснить, что считать исходными логическими понятиями и что, в таком случае, рассматривать как логические и математические истины, сформулированные на их основе.

Рассел на этот вопрос даёт следующий ответ: Он считает, что в математике речь идёт не о конкретных предметах, их признаках и отношениях, но о произвольных предметах и их возможных всех или каких-то свойствах и всех или каких-то отношениях. В этом случае предметы, свойства и отношения представлены переменными; остаются лишь логические константы ‘некоторые’, ‘все’, ‘какой-то’ и т.д.

Оперирование переменными и логическими константами Рассел считает основным признаком математической истины, определяя чистую математику как

класс всех пропозиций формы “р влечёт q”, где p и q суть пропозиции, которые содержат одну или более переменных, одинаковых для обеих пропозиций, и ни р, и ни q не содержат каких-либо констант, кроме логических [82. Р. 3].

Таким образом, достаточным признаком математической или логической истины Рассел считает общность формы. То есть специфи-

1 По этому поводу воспользуемся утверждением П. Бенацеррафа: «Логицизм укладывается в несколько различных версий, каждая со своими новшествами, но большинство из этих версий имеет следующую общую структуру:

1)Истины арифметики переводимы в истины логики;

2)(1) демонстрируется тем, что (а) устанавливаются определения для “внелогического” словаря (понятий) арифметики в “сугубо логических” терминах и (b) отмечается, что переводы, санкционированные этими определениями, перевели арифметические истины в логические истины, а арифметически ложные утверждения – в логически ложные;

3)относительно этой арифметической демонстрации затем утверждается, что обоснована аналитичность математических пропозиций, потому что (а) поскольку определения по предположению сохраняют значение, логические переводы имеют то же самое значение, что и арифметические оригиналы и (b) сами логические истины мыслятся истинными

всилу значения, в данном случае – значений встречающихся в них логических частиц (и, таким образом, аналитическими)» [1. С. 254].

к какой-то определённой вещи или классу вещей, но ко всем вещам или каким-то классам вещей. Однако, как утверждает Рамсей:

Не все такие пропозиции являются пропозициями математики или символической логики. Возьмём, например, ‘Любые две вещи различаются по крайней мере тридцатью способами’; это совершенно общая пропозиция, её можно выразить как следствие, включающее только логические константы и переменные, и она вполне могла бы быть истинной. Но никто не может рассматривать её как математическую или логическую истину; она совершенно отлична от такой пропозиции, как ‘Любые две вещи в совокупности с любыми другими двумя вещами дают четыре вещи’, которая является логической, а не просто эмпирической истиной. В соответствии с нашей философией мы можем провести различие, называя одну случайной, а другую необходимой пропозицией, или же одну – подлинной пропозицией, а другую – просто тавтологией [17. С. 19–20].

Иными словами, для того, чтобы выявить отличительные особенности высказываний логики и математики, необходимо,

1

помимо общности, установить некоторые другие их свойства. Например, утверждения из PM вроде бесконечности или аксиомы мультипликативности составлены исключительно из логических терминов и, поэтому, согласно критерию Рассела, являются аналитическими. Однако сомнение в их логической природе как раз и послужило отвержению в среде математиков программы Рассела. Используя терминологию ‘подлинная пропозиция’ и ‘тавтология’, Рамсей ориентируется на Витгенштейна, отталки-

ваясь от идей которого он как раз и пытается улучшить - про грамму логицизма.

1 Надо сказать, что Рассел и сам сомневается в достаточности установленного им признака. В работе «Введение в математическую философию» он, со ссылкой на Витгенштейна, в частности, пишет: «Определение ‘логики’ или ‘математики’ следует искать в новом определении старого понятия‘аналитических’ суждений. Хотя мы больше не можем быть удовлетворены определением логических суждений как следующих из закона противоречия, мы можем и должны ещё допустить, что они представляют собой класс суждений, полностью отличный от тех, которые мы знаем эмпирически. Все они имеют характеристику, которую мы некоторое время назад назвали ‘тавтологичностью’. Она, скомбинированная с фактом, что они могут быть полностью в терминах переменных и логических констант (логическая константа есть нечто, что остаётся постоянным в суждении, даже тогда, когда все его конституенты изменены), даст определение логики или чистой математики. На настоящий момент я не знаю, как определить тавтологию» [25. С. 219].

1.2. Теория Л. Витгенштейна

Теорию, которую имеет в виду Рамсей, Витгенштейн формулирует в своём фундаментальном труде Логико-философский трактат (ЛФТ)1. Если отвлечься от собственно философских следствий этой теории, обращаясь к технической стороне дела, то для Рамсея она, собственно, сводится к следствиям следующих трёх положений2:

1.Высказывание характеризуется условиями истинности, т.е. оно может быть истинным и может быть ложным;

2.Высказывания бывают атомарными и неатомарными. Атомарное высказывание не включает логических констант типа‘если, то’, ‘или’, ‘не’ ‘все’, ‘некоторый’ и т.д., оно состоит исключительно из имён, тогда как неатомарное высказывание включает логические константы;

3.Условия истинности неатомарных высказываний находятся в функциональной зависимости от условий истинности атомарных высказываний.

Достаточно просто проиллюстрировать на примерах два первых положения. Выражения «Сократ – философ», «Сократ мудр», «Сократ не мудр», «Сократ мудр, или Сократ не философ», «Все философы мудрецы», «Некоторые мудрецы – философы» являются высказываниями (пропозициями). При соответствующих условиях они могут быть истинными и могут быть ложными. Но высказывания «Сократ – философ» и «Сократ мудр», при подходящем понимании элементарности признака, являются атомарными, тогда как высказывания «Сократ не мудр», «Сократ мудр, или Сократ не философ» и «Все философы мудрецы» являются неатомарными, поскольку содержат логические константы ‘не’, ‘или’, ‘все’, ‘некоторые’ и т.д.

На третьем положении остановимся несколько подробнее. Согласно третьему положению, условия истинности и ложности неатомарных высказываний зависят от условий истинности и ложности атомарных. Для начала возьмём простейший случай: «Сократ мудр» и «Сократ не мудр». Нетрудно заметить, что при истинности первого высказывания второе всегда будет ложным и наоборот. Если же атомарное высказывание в данном случае обозначить как‘p’, а отрицание – как ‘~’, то ‘~p’ всегда будет иметь условия истинности,

1Эта теория изложена Витгенштейном в ЛФТ параграфы 4.3.–4.5. [4. С. 108–118].

2Подробнее см. [28. С. 197–238].

противоположные ‘p’. Рассмотрим теперь высказывание«Сократ мудр, или Сократ – не философ», обозначая «Сократ – философ» как ‘q’, а ‘или’ как ‘Ú’, тогда само высказывание запишется как ‘p Ú ~q’. Его условия истинности зависят от условий истинности ‘p’ и ‘q’ и от того способа, которым они соединены. Высказывание ‘p Ú ~q’ будет истинным для одних условий истинности‘p’ и ‘q’, и ложным для других. Подразумевая обычный смысл за знаком ‘Ú’, нетрудно заметить, что выражение ‘p Ú ~q’ означает «‘p’ – истинно, или ‘q’ – ложно». Т.е. в наших обозначениях это означает, что «‘Сократ мудр’ – истинно, или ‘Сократ – не философ’ – ложно».

Этот подход нетрудно обобщить для произвольных высказываний. Пусть p, q, r … – атомарные высказывания, каждому из которых соответствуют два условия истинности. Любое неатомарное высказывание, построенное из n атомарных высказываний, должно учитывать 2n истинностных возможностей, при которых оно может быть истинным и может быть ложным, поскольку необходимо учитывать все возможные комбинации условий истинности атомарных высказываний. Последнее легко представить в виде разработанных Витгенштейном таблиц -ис тинности. Так, например, истинностные возможности неатомарного высказывания, построенного из 2 атомарных, будут выглядеть следующим образом:

Т а б л и ц а 1

(здесь И и Л обозначают истину и ложь соответственно, а каждая строка таблицы указывает на одну из возможностей). То есть p может быть истинным, и q может быть истинным; р может быть ложным, а q – истинным, и т.д. При установлении условий истинности неатомарного высказывания следует учитывать, что одни истинностные возможности могут быть реализованы, а другие – нет. К примеру, приведённое выше высказывание ‘p Ú ~q’ реализует первую, третью и четвёртую из указанных возможностей, отвергая вторую. Если представить это в виде таблицы, обозначая напротив соответствующих строк принятие возможности как И, а отвержение – как Л,