§ 17. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора
Пусть
числовое множество, которое является
либо отрезком
,
либо интервалом
,
либо полуинтервалом
или
,
либо всей числовой прямой
,
либо объединением отрезков, интервалов
и полуинтервалов. Функция
определена на
.
Определение.
Функция
равномерно непрерывна на
,
если выполняются следующее условие:
такое, что
.
Пример
1.
Функция
равномерно непрерывна на всей числовой
оси
.
Действительно, если выбрать
,
то условие определения равномерной
непрерывности будет выполнятся, так
как:
.
Пример
2.
Функция
не является равномерно непрерывной на
.
Действительно, пусть
и число
так же задано. Выберем значения
следующим образом
,
,
где
− натуральное число такое, что
или
.
Тогда
,
т.е. условие равномерной непрерывности
нарушается. Следовательно, функция
не является равномерно непрерывной на
.
Заметим, что если
равномерно непрерывна на
,
то она непрерывна в каждой точке множества
.
Как показывает пример 2, обратное
утверждение неверно. Однако, если
− есть отрезок, то справедлива
Теорема Кантора. Пусть . Тогда равномерно непрерывна на . (Без доказательства)
§ 18. Производная функции в точке
Пусть
определена в
.
Определение.
Производной
функции
в точке
называется предел:
, (1)
если
он существует. Обозначим
,
.
Тогда равенство (1) эквивалентно равенству:
. (2)
Определение.
Функцию
называют дифференцируемой в точке
,
если
такое, что справедливо равенство:
. (3)
Сравнивая
соотношения (2) и (3), получим
.
Таким образом, если функция дифференцируема
в точке
,
то она имеет в точке производную
.
Верно и обратное: если
имеет в точке
производную, то она дифференцируема в
этой точке. Кратко будем записывать:
.
Рассмотрим график функции
.
Обозначим
,
точки
с координатами соответственно
.
Прямую, проходящую через точки
и
будем называть секущей графика. Тогда
угловой коэффициент секущей, т.е. тангенс
угла наклон секущей с осью
,
равен
.
Предельное положение секущей, когда
,
есть касательная к графику в точке
.
Таким образом, угловой коэффициент
касательной равен
,
а уравнение самой касательной будет
.
Производная суммы, произведения и частного двух функций:
1) 
;
2) 
;
3) если 
, то 
.
Доказательство:
1) 
;
2) 
;
3) Пусть 
. Тогда 
.
Далее,
применяя доказанное правило
дифференцирования произведения
функций, получим соотношение:
.
§ 19. Дифференцирование обратной функции
Утверждение.
Пусть
определена
,
строго монотонна и непрерывна,
и
.Тогда
в
,
где
определена обратная функция
также строго монотонная,
непрерывная, 
и 
.
Доказательство.
Существование и непрерывность обратной
функции было доказано ранее. Далее
имеем:
.
§ 20. Дифференцирование сложной функции
Утверждение.
Пусть
определена
,
,
а
определена в
,
,
.
Тогда
и 
.
Доказательство. Так как
и
, то:
и
.
Из
этих соотношений по свойствам б.м.в.
следует, что:
.
Утверждение
доказано.
Производные основных элементарных функций и обратных к ним: Используя доказанные выше свойства производных и пределов, докажем следующие равенства:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
13) 
;
Доказательства:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
другое
доказательство:
;
6) 
;
7) 
;
8) 
, т.к. 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;