§ 9. Предел и три следствия из него

Утверждение.  . Доказательство. Определение. Целой частью числа (обозначается ) называется наибольшее целое число, не превосходящее  . Пример.  . Пусть . Обозначим . Тогда, из определения целой части числа следует, что . Применим к этому неравенству лемму о двух милиционерах. Так как и , то  Далее докажем, что . Пусть . Обозначим . Тогда ввиду равенств .. Обозначим . Тогда и при , . Следовательно, получаем соотношение и . Итак, мы доказали, что , т.е. , что и требовалось доказать.

Из доказанного утверждения выведем три важных предела: 1)  ; 2)  ; 3)  . Доказательства: 1)  ; 2)  ; 3)  . Правомерность этих предельных переходов следует из непрерывности функций и , что будет доказано далее.

§ 10. Сравнение бесконечно малых величин

Будем предполагать, что функции, которые мы будем рассматривать в этом параграфе определены в окрестности нуля.

Определение. Функция есть (о-малое от функции ), если . Запись , .т.е. − бесконечно малая величина.

Свойства бесконечно малых величин: 1) если  , то  ; 2)  , если (символ “ ” означает, что левую часть равенства можно заменить на правую); 3)  ; 4)  ; 5) если  , то  ; 6)  ; 7)  . Доказательство. Докажем два первых свойства. Доказательство остальных предлагаем сделать самостоятельно. 1) Пусть . Тогда по определению о-малого: . Свойство 1 доказано. 2) Пусть и , , и , тогда , что и требовалось доказать.

Примеры: 1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  .

Свойства бесконечно малых величин удобно применять при вычислении пределов.

§ 11. Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в , окрестности точки .

Определение. Функция непрерывна в точке (краткая запись: ), если .

Свойства непрерывных в точке функций: 1) Если , то и ; кроме того, если  , то  . 2) Если  , то  . Доказательство свойства 1 получается, если воспользоваться соответствующими свойствами пределов функции. Для доказательства свойства 2 нужно применить теорему о пределе сложной функции.

§ 12. Типы разрывов функции в точке

Определение. Функция имеет в точке устранимый разрыв, если и или значение не определено.

Пример. . Значение не определено. Если мы определим , то функция станет непрерывной в точке .

Определение. Функция имеет в точке разрыв первого рода, или скачок, если , и .

Пример. .

Определение. Функция имеет в точке разрыв второго рода, если не существует хотя бы один из односторонних пределов или .

Примеры: 1)   при  ; 2)   при  ; 3)   − функция Дирихле. В первых двух примерах точка является точкой разрыва второго рода. В третьем примере функция имеет разрыв второго рода в любой точке (доказать самостоятельно).

§ 13. Непрерывность монотонной функции.

Определение. Функция непрерывна справа (слева) в точке , если (соответственно ).

Определение. Функция непрерывна на отрезке , если , , кроме того непрерывна справа в точке и непрерывна в точке .

Теорема. Пусть функция определена на отрезке и монотонна, т.е. не убывает или не возрастает на . Кроме того функция принимает все промежуточные значения между и . Тогда . Доказательство. По теореме о пределе монотонной функции и . Пусть для определённости функция не убывает, тогда: , . Переходя к пределу в неравенстве получаем: . Если , то выберем число так, чтобы и . Тогда , что противоречит предположению теоремы. Следовательно, и . Аналогично доказывается, что непрерывна слева в точке и непрерывна справа в точке (доказать самостоятельно). Теорема доказана.

Следствие. Из доказательства теоремы следует, что, если монотонна на , то либо , либо имеет в точке разрыв первого рода (скачок).