Начертательная геометрия / Свириденок И.И. Курс начертательной геометрии

Задача 1

Определить расстояние от точки D до плоскости АВС (пример на рис. 10а).

Указания к задаче 1

Задачу выполняют в следующей последовательности:

1) по координатам своего варианта строят две проекции треугольника и точку D;

2) из точки D следует опустить перпендикуляр к плоскости, используя горизонталь и фронталь, принадлежащие плоскости, при

1h1, D2 f2;

3)перпендикуляр заключают во вспомогательную плоскость

P2 (фронтально-проецирующую), которая пересекает АВС по линии MN;

4)на горизонтальной проекции определяют точку встречи

(К1) перпендикуляра с плоскостью АВС как результат пересечения M1N1 и перпендикуляра из проекции точки D1;

5)определяют натуральную величину (H.B.) расстояния от точки D до АВС методом прямоугольного треугольника. Гипотенуза прямоугольного треугольника является натуральной величиной прямой, один катет которого – проекция на данную плос-

кость проекций, а второй – разность расстояний концов отрезка от данной плоскости проекций ( ∆ Z). K1D0 является расстоянием от точки до плоскости.

Алгоритм решения задачи 1

1 3

Задача 2

Построить плоскость, параллельную заданной и отстоящую от нее на 30 мм (пример на рис. 10а).

Указания к задаче 2

Задача решается аналогично первой:

1) из любой точки, лежащей в плоскости, восстанавливают перпендикуляр (A2 f2; А1 h1);

2) на этом перпендикуляре выбирают произвольную точку F и определяют методом прямоугольного треугольника натуральную величину отрезка AF;

3) на натуральной величине определяют точку, отстоящую от плоскости АВС на расстоянии 30 мм, и возвращаются на проекции перпендикуляра (Е);

4) в точке Е строят искомую плоскость, соблюдая условия параллельности плоскостей: если две плоскости параллельны, то две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Алгоритм решения задачи 2

1) A212 ¦ ¦ OX → h2; 12 B2C2 → 11 B1C1=h1.

2)A1 h1; A2 f2; F2 и F1 – проекции произвольно взятой

точки.

3)A2 A2A0= ∆ Y(YA-YF); |A0F2|,

A0E0=30 мм; E0 → E2 → E1.

Задача 3

Через прямую DE провести плоскость ABC. Построить линию пересечения плоскостей, обозначив видимость (пример на

рис. 10б).

Указания к задаче 3

Необходимо выполнить следующие действия:

1) для построения плоскости, перпендикулярной к плоскости АВС и проходящей через прямую DE, необходимо из точки D

1 4

или E провести прямую, перпендикулярную к фронтали и горизонтали, эти две пересекающиеся прямые (DE и перпендикулярная) составляют плоскость, перпендикулярную к плоскости АВС;

2)строят линию пересечения двух плоскостей способом построения точек пересечения прямой с плоскостью (см. решение задачи 1, определение точки К);

3)для определения второй точки пересечения заключают прямую DF в горизонтально-проецирующую плоскость. Линия пересечения 1-2 встречается с прямой DE при своем продолжении (точка 3). Прямая KF является линией пересечения плоскостей;

4)определяют видимость пересекающихся плоскостей методом конкурирующих точек. Для этого выбирают две скрещивающиеся прямые DE и AC и точки, принадлежащие им, 2 и 4, совпадающие на горизонтальной плоскости проекций, видимой будет та точка, у которой координата больше. При определении видимости на фронтальной плоскости проекций выбраны точки N и 5.

Способы преобразования чертежа

Цель способов преобразования чертежа состоит в том, что геометрические образы из общего переводятся в частное положение, чем упрощается решение конкретной задачи.

Преобразование чертежа может быть осуществлено:

1) способом вращения вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций;

2)способом вращения вокруг линии уровня;

3)способом плоско-параллельного перемещения;

4)способом перемены плоскостей проекций.

Чтобы решить задачу 4, необходимо ознакомиться с теорией вращения геометрических образов.

1 5

На рис. 11 даны наглядное изображение точки А и ось вращения i, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций. При вращении вокруг оси i точка А опишет окружность в плоскости Q, перпендикулярной оси i и одновременно параллельной плоскости П2, поэтому траектория точки будет проектироваться на эту плоскость в виде окружности того же радиуса, а на плоскость П1 – в отрезок прямой, перпендикулярной к оси вращения i1. На рис. 12 показан чертеж вращения точки А.

Если необходимо повернуть прямую на определенный угол, достаточно повернуть на этот угол две точки А и В.

На рис. 13 прямую АВ поворачиваем на угол α вокруг оси, перпендикулярной А1В1= À ′1 Â ′1 . Таким образом, можно повернуть прямую так, как удобно для решения задачи.

Первым поворотом (рис. 14) располагаем горизонтальную проекцию прямой параллельно оси ОХ, фронтальные проекции точек А и В перемещаются перпендикулярно оси i, прямая заняла положение, параллельное фронтальной плоскости проекций, и стала фронтально ( À ′2 Â′2 – натуральная величина). Если поменять расположение оси вращения на перпендикулярное фронтальной плоскости, повернуть прямую еще раз, получим горизонтально проецирующую прямую. Можно положение оси i не указывать на чертеже, такое решение задачи называется вращением без указания осей, или плоско-параллельным перемещением. Задача 4 решается именно таким методом.

Задача 4

Определить натуральную величину плоской фигуры (треугольника АВС) способом вращения вокруг осей, перпендикулярных плоскостям проекций (метод плоско-параллельного перемещения) (пример на рис. 15).

Указания к задаче 4

1) соблюдая правила вращения геометрических фигур вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, необходимо: привести АВС в положение проецирующей плоскости, для этого горизонтальную проекцию горизонтали h1 располагают перпендикулярно оси ОХ, переносят, не изменяя ее, в положение À ′1 Â 1′ Ñ 1′ , фронтальные проекции точек перемещаются по линиям связи, параллельным оси ОХ, таким образом, плоскость треугольника из общего положе-

1 7

Сущность способа заключается в следующем. Одна из плоскостей проекций заменяется на новую, располагаемую так, чтобы удобно было решить конкретную задачу. При этом плоскости проекций должны быть взаимно-перпендикулярны.

На рис. 16 представлены точка А и ее проекции на плоскости П1 и П2. Вместо плоскости П2 вводится новая плоскость проекций П4, перпендикулярная П1, на эту плоскость проецируем точку А – это А4. Высота (координата Z) точки не изменилась. Линия пересечения плоскостей проекций П1 и П4 является новой осью – Х1, при этом А2АХ=А4АХ1=Z.

1 8

Рис. 16

Рис. 17

На рис. 17 выполнен комплексный чертеж точки методом перемены плоскостей проекций. Линия связи А1А4 перпендикулярна новой оси Х1.

При определении расстояния от точки до плоскости (задача 5, рис. 15) следует переменить плоскость проекций так, чтобы плоскость АВС из общего положения преобразовалась в проецирующую, и тогда перпендикуляр из точки D будет ответом на поставленный вопрос.

1 9

Задача 5

Методом перемены плоскостей проекций определить расстояние от точки D до плоскости АВС (пример на рис. 15).

Указания к задаче 5

Соблюдая правила построения геометрических фигур на заменяемых плоскостях проекций, необходимо:

1) преобразовать плоскость общего положения АВС в проецирующую, для этого перпендикулярно главной линии плоско-

2.X1 C2f2; X1= П2 ,

П4

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

Для выполнения контрольной работы № 2 требования прежние. В этой работе студенты решают задачи по образному мышлению, т.е. при решении всех задач рассматриваются трехмерные объекты – поверхности. Все чертежи строятся по размерам в масштабе 1:1, либо уменьшения, либо увеличения (размеры не проставляются). Варианты заданий прежние.

Следует иметь в виду, что все поверхности выполнены из материала непрозрачного, поэтому при пересечении поверхности другими геометрическими образами проходящие внутри поверхности линии должны быть тонкие сплошные, как линии построения.

2 0