4.6. Регрессионный анализ

После нахождения коэффициентов модели возникает задача установить пригодность модели и значимость коэффициентов. С этого момента метод наименьших квадратов превращается в регрессионный анализ. Применение регрессионного анализа возможно только при выполнении следующих предположений.

1. Математическое ожидание величины при заданном значенииявляется линейной функцией по параметрам, т.е. модели должны быть линейными по параметрам.

2. Значения не являются случайными величинами.

3. Дисперсия ошибки равна дисперсии величины:. Эта дисперсия может быть постоянной либо зависимой отx.

4. Различные измерения величины y взаимно независимы.

При выполнении этих четырех условий МНК дает несмещенные оценки b₀ и b₁ параметров ₀ и ₁ .

В случае нахождения доверительной области для коэффициентов ₀ и ₁ должно выполняться еще одно предположение.

5. Условие распределения при заданном значениинормально относительно математического ожидания.

4.7. Проверка адекватности модели

Для того чтобы принять решение относительно модели необходимо проверить гипотезу: линейная модель по параметрам удовлетворительно описывает экспериментальные данные.

4.7.1. Критерий Фишера

Проверку адекватности модели выполняют с помощью критерия Фишера:

,

где – дисперсия неточности модели,–дисперсия ошибки эксперимента.

Если , то гипотеза о том, что линейная модель адекватна, принимается. Здесь- табличное значение;- уровень значимости;F- вычисленное значение.

При гипотеза адекватности линейной модели по параметрам отвергается.

4.7.2. Определение дисперсий неточности модели и ошибки эксперимента

Обратимся к рис.4.7. Дисперсия характеризует ошибку эксперимента. Её можно получить путем возведения в квадрат разностис последующим суммированием по всем экспериментальным точкам:

(4.22)

Знаменатель дисперсии равен разности между общим количеством экспериментальных точек и числом наложенных связейn, т.к. каждая выборка дает одну связь.

Дисперсия характеризует неточность подгонки модели, её неадекватность. Поэтому её можно получить из разности, которая после возведения в квадрат и суммирования представляет собой сумму квадратов отклонений относительно эмпирической линии регрессии:

(4.23)

Здесь число степеней свободы равно (n-2). Две связи вызваны двумя ограничениями , связанными с определением и.

Если математическое ожидание дисперсии равно дисперсии выходной величины:

,

то полученная эмпирическая модель будет корректной.

4.7.3. Определение дисперсии воспроизводимости эксперимента

Дисперсия характеризует ошибку эксперимента и называют дисперсией воспроизводимости эксперимента. Она может быть получена путем объединения дисперсий и:

(4.24)

Более простое определение .

4.7.4. Проверка однородности дисперсий

Простейшим критерием проверки однородности дисперсий является критерий Фишера, который представляет из себя отношение большей дисперсии к меньшей:

Полученная величина F сравнивается с табличной величиной . ЕслиF>, то дисперсии значимо отличаются друг от друга и тогда они неоднородны. Если сравнивается много дисперсий (более двух) и одна из дисперсий значимо превышает остальные, то можно применять критерий Кохрена – это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий:

,

Гипотеза об однородности подтверждается, если G<G_t, где G_t - табличное значение.