4.4. Описание используемых расчетов.

Поверхностные свойства целлюлозных волокон имеет большое теоретическое значение, а их взаимодействие – технологическое. Это связано с вопросами устойчивости волокнистых дисперсных систем в технологическом процессе.

Так, на начальных стадиях производства бумаги необходимо обеспечить минимальное сцепление с последующим его усилением на стадии фильтрации до максимального в готовом материале.

Устойчивость волокнистой суспензии связана с наличием на поверхности волокна двойного электрического слоя (ДЭС) на границе жидкой и твердой фазами, а взаимодействие волокон обусловлено теорией ДЛФО. Взаимодействие двух целлюлозных волокон и наполнителя зависит от величины потенциальных кривых – зависимость суммарной энергии взаимодействии от расстояния, которые определяются статически энергией притяженияUm и отталкивания Ui частиц

U = Um + Ui.

Для экспериментальных исследований, моделирования взаимодействия индивидуальных волокон между собой и расчета величины взаимодействия удобно определять через их работу, воспользовавшись теорий потенциальных полей. Для этого покажем, что в потенциальном поле работа сил поля на любом замкнутом пути равна нулю. Действительно, любой замкнутый путь (рис. 4.6) можно разбить произвольно на две части: 1а2 и 2b1. Пользуясь известными рассуждениями, запишем — поле потенциально , поэтому сумма работ в стационарных силовых полях не зависит от пути

.

Таким образом, равенство работы сил поля на любом замкнутом пути равное нулю есть необходимое и достаточное условие работы не зависит от формы пути.

Рис. 4.6. Работа в потенциальном поле сил

Центральную силу, действующую на волокна 1 со стороны волокна 2, можно представить в общем виде:

, (4.1)

где f(r) — функция, зависящая при данном характере взаимодействия только от r; r — расстояния между частицами;— единичный вектор, задающий направление радиус-вектора точки1 относительно 2.

Волокна целлюлозы соприкасаются друг с другом отдельными точками при выходе на сеточный стол, то в дальнейшем рассмотрим задачу в соответствии с рис. 4.7, где обозначим эти точки буквами А и В. Здесь работа силы пропорциональна радиус-векторуточкиА относительно точки В.

Рис. 4.7. Работа в поле потенциальных сил

Для этого достаточно найти работу центральных сил, если силовое поле вызвано наличием одного неподвижного волокна B, а затем обобщим результат на любой произвольный случай. Элементарная работа силы на перемещениеесть. Так как, то проекция векторана вектор, или на соответствующий радиус-вектор(рис. 4.7), можно записать. При этом работа этой силы на произвольном пути от точкиА до точки В

.

Полученное выражение зависит только от вида функции , т. е. от характера взаимодействия и от значений иr — начального и конечного расстояний между частицами A и B.

Полученный результат в стационарном силовом поле показывает действие на частицу A с силами ,. В этом случае работа результирующей силы при перемещении волокна с точкойA из одной точки в другую равна алгебраической сумме работ отдельных сил.

Работа сил потенциального поля зависит только от начального и конечного положений рассматриваемой точки, дает возможность ввести чрезвычайно важное понятие потенциала илипотенциальной энергии.

Перемещение точки А в новую точку А через фиксированную точку В есть работа сил поля, которая не зависит от формы пути, а это значит, что данная работа будет некоторой функцией радиус-вектора r точки А.

Обозначив эту функцию , запишем

. (4.2)

Функция естьпотенциальная энергия точки на поверхности волокна в данном поле.

Тогда найденную работу на пути АВА представим в виде

А_АА = А_АВ + А_ВА = А_АВ – А_АВ,

или с учетом (2) и рис. 1 и 2

и . (4.3)

Из полученного выражения видно, что энергия по мере удаления уменьшается. Таким образом, работа сил поля на пути А—А (1—2) равна убыли потенциальной энергии точки А поверхности волокна в данном поле.

Выражение (4.3) дает возможность найти функцию для любого потенциального поля сил. Для этого достаточно вычислить работу, совершаемую силами поля на любом пути между двумя точками, и представить ее в виде убыли некоторой функции(потенциальная энергия). Это позволяет представить и вычислить работу точки в потенциальных полях как упругую или гравитационную (кулоновской) силу. Тогда для сравнения запишем выражения потенциальной энергии волокна для различных силовых полей:

1) в поле упругой силы — ;

2) в поле точечной массы (заряда) — ;

где  = –Gm₁m₂ для гравитационного взаимодействия и для кулоновского взаимодействия;

3) в однородном поле сил тяжести — .

Для определения связи потенциальной энергии с силами поля взаимодействия волокна, а точнее потенциальной точки на поверхности, с окружающими телами можно описывать двумя способами: с помощью сил или с помощью потенциальной энергии. В классической механике оба способа используют одинаково широко. Однако, первый способ обладает несколько большей общностью, ибо он применим и к таким силам, для которых нельзя ввести потенциальную энергию (например, к силам трения). Второй же способ применим только в случае консервативных сил.

Задача предлагаемого метода — установить связь между потенциальной энергией и силой поля, точнее, определить поле сил по заданной потенциальной энергиикак функции положения точки на поверхности волокна в поле.

При перемещении точки из одного положения потенциального поля в другое, работу, которую произведут силы поля можно представить как убыль потенциальной энергии точки, т. е. А₁₂ = U₁ – U₂ = –U. Это относится и к элементарному перемещению :А = –dU, или . (4.4) Учитывая, что, гдеds — элементарный путь, тогда перепишем уравнение (4.4) в виде ,

где –dU — это убыль потенциальной энергии в направлении перемещения . Отсюда

, (4.5)

т.е. проекция силы поля-вектора в данной точке на направление перемещенияравна с обратным знаком производной потенциальной энергииU по данному направлению. Символ частной производной  подчеркивает, что производная берется по определенному направлению между отдельными точками поверхности целлюлозного волокна.

Перемещение можно взять в любом направлении, в частности вдоль координат осей х, у, z. Например, если перемещение, параллельно оси х, то его можно представить так:гдеi — орт оси x; dx — приращение координаты x. Тогда работа силы на перемещении, параллельном оси x,

где F_x — проекция вектора на орт, а не на перемещение, как в случаеF_s.

Подставив последнее выражение в уравнение (4.4), получим

,

где символ частной производной означает, что потенциальная энергия U(x,y,z) при дифференцировании необходимо рассматривать как функцию одного аргумента х, остальные же аргументы должны оставаться при этом постоянными. Ясно, что для проекций F_y и F_z уравнения рассматриваются аналогично уравнению для F_x. [16]

Выше сказанное позволяет моделировать напряженно-деформированное состояние в волокнистой структуре (рис. 4.8) с использованием итерационного алгоритма Папковича-Найбера.

а б

Рис. 4.8. Распределение гидростатических полей напряжений (а) и их интенсивности (б)

Метод заключается в представлении энергии взаимодействия U_i⁽ⁿ⁾ путем перемещения через гармонические потенциалыφ₀ⁱ, φ₁ⁱ, φ₂ⁱ, φ₃ⁱ, в которых вектор U_i имеет вид

,

где е₁, е₂, е₃, — базисные векторы прямоугольной Декартовой системы координат;

μ — модуль сдвига;

ν — коэффициент Пуассона;

φ₀ⁱ, φ₁ⁱ, φ₂ⁱ, φ₃ⁱ — потенциалы (скалярные функции);

r — радиус-вектор точки среды;

r_i — радиус-вектор точки, лежащей внутри i-го включения. [15]