1 Краткая теоритическая часть

1.1 Распределение Вейбула-Гнеденко

Этот закон характерен для моделей с так называемым “слабым звеном”. Если система состоит из группы независимых элементов, отказ каждого из которых приводит к отказу всей системы, то в такой модели рассматривается распределение времени (или пробега) достижения предельного состояния системы как распределение соответствующих минимальных значений отдельных элементов: х_с = min(x₁; x₂; … x_n). Функция распределения этой величины может быть выражена следующей зависимостью:

где a и b – параметры распределения.

Примером использования распределения Вейбулла – Гнеденко является распределение ресурса или интенсивности изменения параметра технического состояния КЭ автомобиля, которые состоят из нескольких элементов, составляющих цепь.

По аналогичной схеме происходит регулирование тепловых зазоров клапанного механизма ГРМ. Некоторые изделия при анализе модели отказа могут быть рассмотрены как состоящие из нескольких элементов (участков): прокладки, уплотнения, шланги, трубопроводов, приводных ремней и т. д. Разрушение указанных изделий происходит в разных местах и при разной наработке, однако ресурс изделия в целом определяется наиболее слабым его участком, т. е. х_с = min(x₁; x₂; … x_n).Распределение Вейбулла.

X = B*exp(ln(-ln(1-Rnd))/A), где

A - параметр формы

B - параметр масштаба

Rnd - равномерная случайная величина в интервале [0;1]

G(x) = 1- e^-λxα (λ > 0, α > 0)

1.2 Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Рассмотрим одну из характеристик непрерывных случайной величины как математическое ожидание (обратная функция).

Математическим ожиданием случайной непрерывной величины X, Возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называют определённый интеграл

M(X)=ò x*f(x)dx

Если возможные значения принадлежат всей оси Ox, то

M(X)=ò x*f(x)dx

Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, то есть существует интеграл ò |x|*f(x)dx. Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к -¥, а верхнего – к +¥.

По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения.

Если возможные значения X принадлежат отрезку [a,b], то

D(X)=ò [x - M(X)]*f(x)dx;

если возможные значения принадлежат всей оси x, то

D(X)=ò [x - M(X)]*f(x)dx;

Среднее квадратическое отклонение случайной непрерывной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством

s=Ö D(X).

Обратная функция r_i = _a∫^x f(x)dx, для нашего закона распределения:

r = f(x), x = F^-1(x); λ = 1/T = 2 , β = 0.8

F(t) = 1- e^-λ₀^tβ = r - λ₀t^β = lnr, t^β = -lnr/λ₀

t_i = ^β√ - lnr_i/λ₀ , r_i =(0 … 1).

2 Практическая часть

2.1 Проверка качества генератора

В результате эксперимента были получены следующие значения случайных чисел:

№	Значение	№	Значение	№	Значение	№	Значение
1	24.52	6	19.392	11	12.304	16	1.512
2	35.04	7	2.488	12	7.616	17	26.064
3	28.4	8	11.28	13	17.6	18	13.8
4	18.72	9	52.384	14	20.448	19	32.672
5	34.744	10	5.584	15	10.92	20	30.992

Для N = 1000 и n = 28 разбиения были получены следующие значения:

№ интервала	1	2	3	4	5	6	7	8	9		10
Число попаданий	88	76	78	59	65	50	48	54	38		46
№ интервал	11	12	13	14	15	16	17	18	19		20
Число попаданий	39	36	28	32	23	22	30	22	19		20
№ интервал	21	22	23	24	25	26	27	28
Число попаданий	17	24	13	14	15	11	15	18

Рис. 2 Гистограмма закона распределения практическая

Максимальное значение величины 52.96, минимальное - 0.808, среднее - 18.5014.

Общая площадь гистограммы: 0.999000999001 условных единиц площади .

Абсолютное расхождения площади полученной гистограммы и заданного закона распределения: 0.886.225411 условных единиц.

Относительное расхождение: 9.44055%

При увеличении числа интервалов и чисел расхождение уменьшается. Для N = 10000 и n = 28 разбиения были получены следующие значения:

Общая площадь гистограммы: 0.9999000099 условных единиц.

Абсолютное расхождения площади полученной гистограммы и заданного закона распределения: 0.364.74677726 условных единиц.

Относительное расхождение: 6.82441%

Рис. 3 Гистограмма закона распределения теоритическая