Лекции по моделированию систем / лекция 6

Моделирование систем, заданных передаточной функцией.

Виды (формы) передаточной функции.

1. Нормальная форма

,

где W(s) – передаточная функция;

P(s) и Q(s) – полиномы относительно переменных s.

Частный случай:

.

Пример: к – усилитель

- инерционное звено 1-го порядка (реальное интегрирующее звено);

- идеальное интегрирующее звено;

- апериодическое звено 2-го порядка (если действительные корни) и колебательное звено (если комплексные корни).

Если на вход подать постоянное воздействие:

2. Каноническая форма

(1)

,

,

λ – корни.

Устойчивые системы должны иметь корни с отрицательной действительной частью

,

если , то признак устойчивости.

Находим коэффициенты:

.

К лабораторной работе:

Как задать коэффициенты? Нужно соблюсти признак устойчивости.

Для варианта №1:

полином 1-й степени, следовательно,

один корень

Для варианта №4:

, тогда полином равен , следовательно,

Пример: передаточная функция системы задана .

Записать ее в канонической форме.

По формуле (1)

.

3. Форма простых множителей

b – числитель (равен общему коэффициенту передачи).

Использование передаточной функции для построения дифференциального уравнения, описывающего систему.

Используется подстановка:

(2)

Пример: составить дифференциальное уравнение, описывающее систему с

- дифференциальное уравнение 1-го порядка.

Для элементарных звеньев:

Описание в виде системы дифференциальных уравнений. Модель в пространстве состояний в нормальной форме.

Пусть передаточная функция записана в нормальной форме:

,

,

,,

,

Систему можно представить в виде множества дифференциальных уравнений 1-го порядка.

Вводим новое обозначение - переменные состояния.

Вектор состояний:

- производная, которая записывается:

(3)

Пример: вход и выход системы связаны передаточной функцией . Вид конкретной передаточной функции: . Составить дифференциальное уравнение.

,

,

(*)

Вектор состояний состоит из 2-х элементов: .

Из уравнения (*): .

Система уравнений:

Моделью в пространстве состояний называется описание вида:

(**)

х – вектор состояния: ; - производная от х, ;

А, В, С – матрицы.

Запишем систему (3) в виде:

,

, ,

Моделирование с использованием библиотечных

функций Mathcad.

Решение с использованием преобразования Лапласа (прямое/обратное).

Пример: - полином 3-го порядка.

а)

б)

Для а):

б)

Обратное преобразование:

Для случая а): .

Маркером выделяем переменную s и нажимаем в меню «Обратное преобразование», тогда появится: Приписываем к этому уравнению y(t):

Решение дифференциальных уравнений.

Библиотечная функция: .