36) Невырожденный и вырожденный электронный (дырочный) газ.

Для собственного полупроводника уравнение электронейтральности приобретает вид p – n = 0 или p = n. Если ширина запрещенной зоны полупроводника достаточно велика (E_g много больше k_BT) и если эффективные массы электронов m_n и дырок m_p одного порядка, то уровень Ферми будет достаточно удален от краев зон (E_C – F > 2k_BT и F – E_V > 2k_BT), и полупроводник будет невырожденным.

Приравнивая значения концентраций электронов и дырок из соотношений (10.15) и (10.18), получаем

.

(10.27)

Отсюда вычисляем значение энергии Ферми F. Уравнение (10.27) – уравнение первого порядка относительно . Решение уравнения (10.27) дает выражение для энергии Ферми

	(10.28)

где через обозначена энергия середины запрещенной зоны.

При выводе в правом выражении для энергии Ферми F отношение эффективных плотностей состояний (N_C/N_V) была заменена на отношение эффективных масс (m_n/m_p) с использованием уравнения (10.16).

Для случая m_n^* = m_p^* энергия Ферми в собственном полупроводнике находится посреди запрещенной зоны

.

(10.29)

Если известны концентрации носителей заряда n и p в зонах, то значение энергии Ферми F можно определить из формул (10.15) и (10.18). Так, для невырожденного полупроводника n‑типа имеем:

.

(10.30)

Аналогично для невырожденного полупроводника p‑типа

.

(10.31)

Из выражений (10.30, 10.31) видно, что чем больше концентрация основных носителей, тем ближе уровень Ферми к краю соответствующей зоны (рис. 10.12). Для донорного полупроводника в случае полной ионизации примеси концентрация электронов равна концентрации донорной примеси n₀ = N_D. Тогда

.

(10.32)

Для акцепторного полупроводника концентрация дырок равна концентрации акцепторной примеси p₀ = N_A (10.24), тогда

	(10.33)

Как уже отмечалось, вырожденный и невырожденный электронный газ описывается соответственно статистикой Ферми−Дирака и Больцмана. Квантовая статистика переходит в классическую, если энергия состояния: . Следовательно, вырождение в полупроводнике наступает тогда, когда энергия Ферми F приближается к дну зоны проводимости или к потолку валентной зоны на расстояние порядка k_ВT, т. е. для полупроводника p-типа: F – E_V = k_ВТ. В случае полной ионизации примеси в акцепторном полупроводнике концентрация дырок p определяется как

.		(10.34)
Рис. 10.12. Зависимость энергии Ферми F от концентрации свободных носителей в кремнии [9]	Отсюда следует критерий вырождения электронного газа: по мере роста концентрации свободных носителей (по мере роста легирующей примеси) полупроводник становится вырожденным, если концентрация свободных носителей сравняется с эффективной плотностью состояний. Более точно, с учетом соотношения E –  , получаем для критерия вырождения NA = p = NV/2,73. Используя для классических полупроводников кремния и германия табличные значения эффективной плотности состояний, получаем количественную оценку концентрации свободных носителей, после которых наступает вырождение: для Si p = 3,8·1018 см-3, для Ge p = 2,2·1018 см-3.