![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Дифференциальные уравнения
- •Образцы решения заданий
- •2. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
- •Варианты контрольных заданий
- •В задачах 291 – 300 найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.
- •Контрольная работа № 8
- •В задачах 321 – 330 исследовать на сходимость ряд.
Образцы решения заданий
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 7
Контрольная работа № 7 состоит из пяти задач. Ниже рассмотрены варианты решения заданий.
Образец выполнения заданий № 271 – 280.
Найти общее решение уравнения
и частное решение, удовлетворяющее
начальному условию
Решение. Преобразуем уравнение:
,
.
Это линейное уравнение 1 порядка. Сделаем
замену
.
Тогда
,
.
Составим систему
Решаем первое уравнение:
,
,
,
,
(при решении этого уравнения постоянную
интегрирования
можно не писать),
.
Подставим во второе уравнение,
и решим его.
,
,
,
,
.
Следовательно
- общее решение дифференциального
уравнения. Для нахождения частного
решения применим условия
,
т.е. подставим
,
в общее решение:
,
отсюда
.
Значит
- частное решение дифференциального
уравнения.
Образцы выполнения заданий № 281 – 290.
1. Найти общее решение уравнения
и частное решение, удовлетворяющее
начальным условиям
,
.
Решение. Уравнение
не содержит
,
поэтому делаем замену
(
).
Тогда
,
,
,
,
,
,
,
,
,
- общее решение дифференциального
уравнения.
Чтобы найти частное решение, используем начальные условия. Имеем
отсюда
Значит, искомое частное решение таково:
.
2. Найти общее решение уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .
Решение. Уравнение
не содержит
,
поэтому делаем замену
.
Тогда
,
,
,
,
,
,
или
,
,
,
,
,
= общее решение дифференциального
уравнения.
Переходим к нахождению частного решения. Имеем
Подставив сюда начальные условия, получим
Второе равенство удовлетворяется, если
взять знак «+». Тогда
,
.
Отсюда
- частное решение дифференциального
уравнения.
Образец выполнения заданий № 291 – 300.
Найти частное решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
,
.
Решение. Сначала найдем общее решение
,
где
- решение соответствующего однородного
уравнения,
- частного решение.
Составляем характеристическое уравнение
и находим его корни
,
где
- минимальная единица.
Отсюда
.
Частное решение ищем в таком виде,
который соответствует правой части
исходного уравнения, а именно
.
Чтобы найти А, В, подставим это выражение в исходное уравнение
.
Вычислив производные и упростив левую часть, получим
,
отсюда будем иметь систему
,
решение которой
,
.
Следовательно
,
.
Производная этой функции равна
.
Подставим начальные условия: при
,
,
.
Получим
,
,
отсюда
,
.
Ответ: частное решение таково
.
Образец выполнения заданий № 301 – 310.
Уменьшение интенсивности света, прошедшего через слой какой-либо среды, пропорционально толщине слоя и интенсивности падающего на него света. Известно, что при прохождении через слой толщины 1 см интенсивность уменьшается в 2 раза. Во сколько раз уменьшится интенсивность при прохождении через слой толщины 5 см?
Решение. Пусть
- интенсивность света, падающего внутри
среды на поверхность, координата которой
х (рис. 1). Согласно условию, при
прохождении через последующий бесконечно
тонкий слой dx начальная
интенсивность уменьшится на величину
,
Рисунок 1
где
- коэффициент пропорциональности. Найдем
общее решение этого уравнения
,
,
,
(А)
Возьмем произвольный слой
,
толщина которого 1 см. Пусть при
,
тогда по условию при
будет
.
Подставив эти значения в (А), получим
,
отсюда находим
,
.
Подставив эти значения в (А), получим
.
Возьмем
- поверхность, удаленная от начальной
на 5 см. Тогда интенсивность будет равна
.
Отношение исходной интенсивности
к конечной
равно
,
т.е. интенсивность уменьшилась в 32 раза.
Образец выполнения заданий № 311 – 320.
Найти общее решение системы
.
Решение. Из первого уравнения находим
(А), подставим во второе уравнение
,
,
- получилось линейное однородное
уравнение с постоянными коэффициентами.
Его характеристическое уравнение
имеет корни
,
,
поэтому
.
Подставив в (А), получим
.
Следовательно, общее решение системы
имеет вид
,
.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8
Контрольная работа № 8 состоит из пяти задач. Ниже рассмотрены варианты решения заданий.
Образец выполнения заданий № 321 – 330.
Исследовать на сходимость числовой ряд
.
Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера. Имеем
,
отсюда
,
Получилось
,
следовательно наш ряд сходится.
Образец выполнения заданий № 331 – 340.
Найти интервал сходимости степенного
ряда
.
Решение. Имеем
,
отсюда
,
.
Потребуем, чтобы было
;
тогда
,
,
.
Таким образом, внутри интервала
исходный ряд сходится абсолютно.
Исследуем сходимость на концах этого
интервала.
При
исходный ряд становится числовым:
;
сравним этот ряд с рядом
,
который расходится:
- получилось число больше 0, поэтому ряд
подобен ряду
,
т.е. расходится.
При
исходный ряд становится таким:
- знакочередующийся ряд, который нужно
исследовать по признаку Лейбница.
Сравним
с
:
при больших
;
таким образом
,
т.е. члены ряда уменьшаются по абсолютной
величине. Кроме того
,
т.е. члены ряда стремятся к 0. Следовательно,
знакочередующийся ряд сходится. Таким
образом
- интервал сходимости исходного степенного
ряда.
Образец выполнения заданий № 341 – 350.
Вычислить интеграл
с точностью до
путем предварительного разложения
подынтегральной функции в ряд.
Решение. Применим формулу разложения
в ряд
Тогда
.
Образец выполнения заданий № 351 – 360.
Найти три первых отличных от нуля члена
разложения в степенной ряд функции
,
являющейся частным решением
дифференциального уравнения
,
.
Решение. Искомое решение имеет вид
(А)
Имеем
,
отсюда
,
отсюда
Подставив эти значения в (А), получим ответ
Образец выполнения заданий № 361 – 370.
Функцию
в интервале (0, 3) разложить в ряд: а)
косинусов, б) синусов.
Решение.
а) Разложение в ряд косинусов имеет вид
,
где
,
.
В нашем случае интервал (0, 3) имеет длину
,
поэтому
,
.
Поэтому
.
Это выражение можно упростить, если заметить, что
Тогда
.
б) Разложение в ряд синусов имеет вид
,
где
.
В нашем случае
.
Поэтому
.
Ввиду того, что
,
это равенство можно записать так
.