Часть 3. Оценка адекватности модели и объекта измерений

1. Эскиз объекта измерений (призма) и схема расположения точек

измерения показаны на рис.1.

Определить допустимую погрешность измерений и выбрать средство измерений СИ.

2. Оценить адекватность модели и объекта измерений по заданным, и определить

методическую погрешность измерений в случае их неадекватности.

Исходные данные к третьей части курсовой работы показаны в табл.3.

1.6. l = 18 f8 j = 1…(n = 6) Таблица 3

Номер точки объекта	Результаты наблюдений, мкм
	xj1	xj2	xj3	xj4	xj5	xj6
1	-3	-11	-3	-10	-8	-7
2	-9	-5	-2	-1	-9	-3
3	1	-3	-7	1	-6	-6

i = 1…(m=3)

При проведении исследований допускаемую погрешность измерений можно принять

равной 0,1 предполагаемого диапазона l измерения размеров деталей в процессе

обработки: Δ_и^доп ≈ 0,1 L.

В нашем случае предполагаемый диапазон измерения L принимаем равным

половине допуска на размер Тl = 27 мкм для заданного по условию задачи размера

l = 18 f8.

Допустимая погрешность измерения: Δ_и^доп ≈ 0,1∙(27/2) = 1,35 мкм.

Учитывая, что погрешность измерения включает в себя инструментальную,

методическую и субъективную погрешности, рекомендуется выбирать такое СИ, чтобы

его погрешность не превышала 0,7 допускаемой погрешности измерения:

Δ_си^доп ≈ 0,7 ∙ Δ_и^доп= 0,7∙1,35 = 0,945 ≈ 0,95 мкм.

Лист

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

17

Курсовая работа по МСС, вариант _________

Лист

По табл. 23 [1] согласно рассчитанной Δ_си^доп и с учетом диапазона измерений

для l = 18 мм выбираем средство измерений (СИ): оптиметр вертикальный с ценой

деления 0,001 мм, диапазоном измерения 0 – 80 мм и погрешностью измерения

Δ_си = 0,3 мкм < Δ_си^доп = 0,95 мкм.

2. Для оценки адекватности модели и объекта измерений можно использовать

дисперсионный анализ (критерий Фишера).

Число точек (групп наблюдений) m = 3, а число наблюдений в каждой точке (группе)

n = 6.

Средние арифметические значения из ряда наблюдений в каждой точке:

_n

x_iср = ( ∑ х_ij ) / n.

^j=1

Значения межгрупповых дисперсий:

_n

S_I² = [ ∑ (х_ij - x_iср)²] / n – 1.

^j=1

Результаты вычислений по приведенным выше формулам сведем в табл.4.

Таблица 4

Номер точки объекта	Результаты наблюдений, мкм						xiср	n ∑ (xij - xiср)2, j=1 мкм2	n SI2 = ∑ (xij - xiср)2/(n – 1) j=1
	xi1	xi2	xi3	xi4	xi5	xi6
1	-3	-11	-3	-10	-8	-7	-7	58	11,6
2	-9	-5	-2	-1	-9	-3	-4,8	60,84	12,2
3	1	-3	-7	1	-6	-6	-3,3	65,34	13,1

₆

∑ (x_1j – x_1ср)² = (-3 +7)² + (-11+7)² + (-3 +7)² + (-10+7)² + (-8+7)² +(- 7+7)² = 58;

^j=1

₆

∑ (x_2j – x_2ср)² = (-9 +4,8)² + (- 5 +4,8)² + (-2 +4,8)² + (-1 +4,8)² +(-9 +4,8)² + (-3 +4,8)² =60,84

^j=1

₆

∑ (x_3j – x_3ср)² = (1+ 3,3)² + (-3 +3,3)² +(-7+3,3)² + (1 +3,3)² +(-6 +3,3)² +(-6 +3,3)² = 65,34

^j=1

n – 1 = 6 – 1 = 5.

Анализ однородности дисперсии.

Среднее значение дисперсии:

_m

S_Б² = (n-1)∑ S_i² = ¹ (6 – 1)(11,6 + 12,2 +13,1) = 12,3.

^{i = 1 3*6 - 3}

Лист

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

18

Курсовая работа по МСС, вариант _________

Лист

Критерий Барлетта будет равен:

_m

χ² = ∑ ℓg(S_Б² / S_i²) = ^{2,303 (6-1)} [ ℓg(12,3/11,6) + ℓg(12,3/12,2) +

^{i = 1 1,09}

+ ℓg(12,3/13,1) = 0,0158.

с = 1 + ( - ) = 1 + ( ³ - ¹ ) = 1,09.

^{6-1 18 -3}

Уровень значимости критерия q = 10%.

Число степеней свободы k = m – 1 = 3 – 1 = 2.

Значение (по табл.27 [1] χ_q² = 4,605.

Вывод: так как неравенство χ² ≤ χ_q² выполняется, т. е. χ² = 0,0158 < χ_q² = 4,605, различия между оценками дисперсий групп допустимы (дисперсии однородны).

Можно использовать дисперсионный анализ по следующей методике.

Вычисляем общее среднее арифметическое значение:

_m

х_ср = ∑ x_iср =1/3 (-7 -4,8-3,3)= - 5,03 мкм.

ⁱ⁼¹

Определяем сумму квадратов отклонений между группами (точками измерения объекта):

_m

Q_I = n ∑ (x_iср – х_ср)² =6 {(-7 +5,03)² + (- 4,8 +5,03)² + (-3,3 + 5,03)²}=41,56 мкм².

ⁱ⁼¹

Определяем сумму квадратов отклонений внутри групп (в каждой точке измерения):

_{m n}

Q_II = ∑ ∑ (x_ij – х_jср)² = 58+60,84+65,34=184,18 мкм²

^{i=1 j=1}

Вычисляем критерий Фишера:

Задаваясь уровнем значимости q = 10 %, находим числа степеней свободы:

k₁ = m – 1 = 2 k₂ = m(n – 1) = 3(6-1)=15

и для этих чисел по табл.25 приложения [1] находим F_q/2 = F_0,05 = 3,7

1 / 3,7=0,27 ≤ F_q/2=3,7.

Если значение F находится вне интервала [1 / F_q/2; F_q/2], это значит, что между средними

арифметическими групп (точками объекта измерений) имеются недопустимые смещения,

к

Лист

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

19

Курсовая работа по МСС, вариант _________

Лист

оторые не могут быть объяснены действием случайных факторов. Поэтому нулевая

гипотеза Н₀: х_{1ср ≈} х_{2ср ≈} х_{3ср ≈ …≈} х_mср может быть отброшена.

Это означает, что исследуемый параметр модели ( высота призмы) не

являются постоянными. Таким образом, следует сделать вывод о несоответствии модели

объекту измерений.

За оценку методической погрешности измерений, обусловленной несоответствием модели объекту измерений, примем интервальную оценку, определяемую по формуле:

Δ_мод = ± t (S_I / √n);

S_I = √( S₁² + S₂² + S₃²) / 3 = √(11,6 + 12,2+ 13,1) / 3 = 3,507 (мкм.)

Уровень значимости оценки примем q = 0,05.

Доверительная вероятность Р = 1 – q = 1 – 0,05 = 0,95.

Число степеней свободы k = m – 1 = 3 – 1 =2.

Коэффициент Стьюдента t определяем по табл. 26 [1].

t = 4,3.

Δ_мод = ± 4,3(3,507 / √6) = ± 6,158≈6,2 мкм.

Вывод: оценка погрешности неадекватности модели и объекта измерения равна

Δ_мод = ± 6,2 мкм при доверительной вероятности Р = 0,95.

Лист

Изм.

№ докум.

Подп.

Дата

20

Курсовая работа по МСС, вариант _________

Лист