![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •9. Вырожденные и невырожденные матрицы. Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы.
- •Уравнение плоскости по трем точкам:
- •4. Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам
- •Геометрический смысл предела числовой последовательности
- •Основные свойства сходящихся последовательностей
- •Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел
- •1. Бесконечно малые функции при х
- •2. Предел функции при х и его свойства.
- •1. Бесконечно малые функции при х а
- •2. Предел функции в точке
- •3. Односторонние пределы
- •44 Вопрос. Глобальные свойства непрерывных функций.
- •Формула конечных приращений
- •Понятие дифференциала
- •Свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала
- •51Производные основных элементарных функций
- •53 Вопрос. Логарифмическая производная. Производная функции u(X)V(X).
- •56 Вопрос. Направление вогнутости. Точки перегиба.
- •64 Вопрос. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Матрица Гессе.
- •66 Экстремум функции нескольких переменных
- •Билет 70. Неопределенный интеграл. Простейшие свойства.
- •Для неопределённого интеграла
- •Для определённого
- •Метод замены переменной (метод подстановки)
- •72Интегрирование дробно-рациональных функций
Геометрический смысл предела числовой последовательности
Число
a – предел последовательности xn,
если в любую окрестность числа а, начиная
с некоторого номера попадают все члены
последовательности
.
Пример 17.4.
Показать,
что последовательность
не
имеет предела. Действительно, пусть а
– предел xn..
Выберем
интервал
с
длиной
.
Расстояние между -1 и 1 равно 2 и,
следовательно, они оба не могут попадать
в этот интервал.
Основные свойства сходящихся последовательностей
Теорема 17.2.
Если последовательность {xn} имеет предел, то он единственный.
Доказательство
Пусть {xn} имеет
два предела a и b.
Накроем их интервалами(c,d) и
(e,f) (т.е.
)
Т.к. a=lim
xn ,
то все элементы {xn} начиная
с некоторого номера лежат в (c,d) и
значит это противоречит тому, что b
– предел.
Теорема 17.3.
Если последовательность {xn} сходится, то она ограничена.
Доказательство
Пусть
.
Зададим
.
Тогда
:
.
Известно,
что
,
поэтому
<1
.
Пусть
,
тогда
очевидно, что
.
Арифметические действия над последовательностями, имеющими предел
Замечание 1.
Пусть
,
тогда
-
бесконечно малая последовательность.
Действительно,
.
Это
значит, что любой элемент
последовательности {xn}, имеющей
пределом число
,
можно представить в виде:
(17.1).
Замечание 2.
Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.
Замечание 3.
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
Замечание 4.
Так
как
,
то
.
Теорема 17.4.
Если
существуют конечные пределы
последовательностей
и
,
то справедливы равенства:
1)
(17.2)
2)
(17.3)
3)
если
(17.4).
Доказательство
Идея доказательства построена на неравенстве:
.
Пусть
,
.
Тогда согласно равенству (17.1):
1)
-
бесконечно малая последовательность
(согласно 17.1);
2)
(бесконечно
малая последовательность);
3)
(бесконечно
малая последовательность).
Предел функции на бесконечности
Понятие предела функции на бесконечности является в определенном смысле обобщением понятия предела последовательности, поэтому настоящий параграф мы построим по аналогии с параграфом о пределе последовательности.
1. Бесконечно малые функции при х
Рассмотрим
на луче [1, +
]
функции f(x)=1/х и g(х) =
— 2/х2.
Их графики обладают общей особенностью:
неограниченно (в математике говорят
«асимптотически») приближаются к
положительному направлению оси
х. Ось х называется горизонтальной
асимптотой графика той
и другой функции. Такие функции
называют бесконечно
малыми при x
.
Более строгое определение почти
дословно повторяет определение бесконечно
малой последовательности.
Определение
1. Функцию
(х), определенную
на некотором луче [Q,+
),
называют бесконечно
малой при х
, если
для любого
>
0 существует число М>0
такое, что при всех х>М выполняется
неравенство |
(х)| < в.
Короче:
(
>0)(
M>0)(
)|
(x)|<
.
Свойства бесконечно малых при х функций аналогичны свойствам бесконечно малых последовательностей.
Теорема 1. Постоянная функция у=с является бесконечно малой при х тогда и только тогда, когда с=0.
Теорема
2. Если
(х)
— бесконечно малая функция при х
и
для всех х из
некоторого луча [Q,+
), выполняется
неравенство |
(x)|
|
(x)|,
то и
(х)
есть бесконечно малая функция при х
.
Теорема 3. Если (х) — бесконечно малая функция при x , то она является ограниченной на некотором луче [М, + ).
Эти теоремы мы приводим без доказательств, так как они легко следуют из определения 1.
Теорема 4. Сумма двух бесконечно малых при х функций также является бесконечно малой при х функцией.
Теорема 5. Если (х) — бесконечно малая при х функция, а у=f(х) — ограниченная функция на некотором луче [а, + ), то их произведение является бесконечно малой при х функцией.
Следствие 1. Если (х) — бесконечно малая при х функция, то и с (х), где с — любое действительное число, также является бесконечно малой при х функцией.
Следствие 2. Произведение двух (и вообще любого конечного числа) бесконечно малых при х функций есть бесконечно малая при х функция.
Следствие 3. Если 1(х), 2(х), ..., n(х)—бесконечно малые при х функции, то и c1 1(х) + c2 2(х) + ••• + cn n(x) (где С1, ..., Сn — действительные числа) также является бесконечно малой при х функцией.
Например,
функция у=
есть
бесконечно малая
при x
.