Билет 70. Неопределенный интеграл. Простейшие свойства.

73Интегрирование тригонометрических функций

1.Интегралы вида       вычисляются преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:

2.Интегралы вида , где m или n– нечетное положительное число, вычисляются подведением под знак дифференциала.

Например,

3.Интегралы вида  , где m и n–четные положительные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени:

4.Интегралы   где  вычисляются заменой переменной: или

5.Интегралы вида   сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки  тогда 

 (т.к. =[после деления числителя и знаменателя на  ]= ;

Следует заметить, что использование универсальной подстановки нередко приводит к громоздким выкладкам.

§5. Интегрирование простейших иррациональностей

Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррациональностей.

1. Функции такого вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3–го типа: в знаменателе из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат и вводится новая переменная.

2. (под знаком интеграла–рациональная функция аргументов  ). Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены  . В частности, в интегралах вида   обозначают  . Если подынтегральная функция содержит корни разных степеней:  , то обозначают , где n– наименьшее общее кратное чисел m,k.

74Интегрирование иррациональных функций

Д ля интегрирования иррациональной функции, содержащей   используется подстановка  .  Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме  , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию.  Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки  .  Интегрирование иррациональных функций, содержащих

   и 

Билет 75. Определенный интеграл. Простейшие свойства.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

- Если функция интегрируема на [ a ; b ], то она интегрируема на любом отрезке

- Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f ( x ) и g ( x ) и любой постоянной A

- Если f ( x ) и g ( x ) интегрируемы на [ a ; b ], то f ( x ) · g ( x ) также интегрируема на этом отрезке.

- Если f ( x ) – периодическая функция с периодом T , то для любого a

Билет 76. Теорема о среднем значении функции.

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), то существует точка c, принадлежащая интервалу (a,b), такая, что f(b) − f(a) = (b − a)f'(c). В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а сохраняет постоянный знак, то существует точка c из интервала (a,b) такая, что

В частности, если , то

Вследствие этого под средним значением функции f(x) на отрезке [a,b] обычно понимают величину

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.

Билет 77. Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл

который называется интегралом с переменным верхним пределом.

Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке.

Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в  причем

Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида

где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.

 Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

Билет 78. Экономические приложения определенных интегралов.

Традиционно практическое приложение интеграла иллюстрируется вычислением площадей различных фигур, нахождением объемов геометрических тел и некоторыми приложениями в физике и технике. Однако роль интеграла в моделировании экономических процессов не рассматривается. Зачастую об экономических приложениях интеграла не идет речи и в классах экономического направления. Вместе с тем, интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Коэффициент Джини — статистический показатель, свидетельствующий о степени расслоения общества данной страны или региона по отношению к какому-либо изучаемому признаку (к примеру, по уровню годового дохода — наиболее частое применение, особенно при современных экономических расчётах).

Рассчитать коэффициент можно как отношение площади фигуры, образованной кривой Лоренца и кривой равенства, к площади треугольника, образованного кривыми равенства и неравенства. Иначе говоря, следует найти площадь первой фигуры и поделить её на площадь 2ой. В случае полного равенства коэффициент будет равен 0; в случае полного неравенства он будет равен 1. Иногда говорят об индексе Джини как о процентном представлении коэффициента.

Коэффициент можно рассчитать по формуле Джини:

где G — коэффициент Джини, Xk — кумулированная доля населения (население предварительно ранжировано по возрастанию доходов), Yk — доля дохода, которую в совокупности получает Xk, n — число домохозяйств, yk — доля дохода домохозяйства в общем доходе, — среднее арифметическое долей доходов домохозяйств.

Билет 79. Несобственный интеграл.

Несобственным интегралом от функции f(x) на полуинтервале [a; называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к , т.е. (1)

Если предел стремящийся к правой части равенства (1), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

По аналогии с (1) определяется несобственный интеграл на полуинтервале (- : . (2)

Введем понятие несобственного интеграла на интервале ( . Пусть для некоторого числа а несобственные интегралы и сходятся. Тогда положим, что . (3), при этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (3) расходятся, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Несобственным интегралом от функции y=f(x) на полуинтервале [a;b) называется предел , где = (4).

Аналогично сводится понятие несобственного интеграла от функции y=f(x) непрерывной, но неограниченной на (a;b] : =

Билет 80. Понятие двойного интеграла.

Двойной интеграл - это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f(x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой, обладающей конечной площадью, области D плоскости X0Y. При этом граница области D должна состоять из конечного числа графиков непрерывных функций.

Обозначение двойного интеграла.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Для того, чтобы понять, что же представляет из себя двойной интеграл с геометрической точки зрения, давайте посмотрим на рисунок ниже.

Итак, пусть в пространстве мы имеем некоторое тело (криволинейный цилиндр [в отличие от криволинейной трапеции в определенном интеграле]), ограниченное сверху поверхностью f(x,y), по бокам - некоторой цилиндрической поверхностью (образующие которой параллельны оси OZ), а снизу плоскостью X0Y.

Не углубляясь особо в теорию, возьмем из нее главное: Геометрический смысл двойного интеграла: при неотрицательной функции f(x,y), двойной интеграл по области D представляет из себя объем криволинейного цилиндра, который построен на области D и ограничен сверху поверхностью z=f(x,y).