- •X1, x2,…,xn – действ. Корни
- •Оба нечетные или четные -
- •1) P z, тогда , где s-общий знаменатель дроби
- •6. (Аддитивность опред. Ин-ла)
- •9. Если f(X)r [a,b], то |f(X)|r [a,b]
- •В декартовой системе координат
- •В параметрическом виде.
- •В полярной системе координат
- •Аддитивность
- •Линейность
- •Аддитивность
- •Линейность
- •Геометр. Смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Дифференциал высшего порядка функции одной переменной
- •Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •Замена переменных в тройном интеграле.
- •1. Поверхность s задана уравнением
- •2. Поверхность s задана параметрически:
- •Скалярная форма кри-2
- •3) Рациональные дроби.
- •X1, x2,…, xl – разл. Компл. Корни
- •2) Не зависит от пути ab.
- •Свойства оператора набла
- •1) Циркуляция потенциального вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
- •2) Для любых т. А,в из области g циркуляция потенциального поля не зависит от выбора кривой ав, а зависит только от выбора а и в.
- •3) Потенциальное поле является безвихревым
Билет 1.
Комплексные числа.
Комлексным числом Z наз. число z=x+iy, где x, y R.
Мн-во комплексных чисел – С, R C, x–действ. часть, y – мнимая часть.
Расстояние от z(x,y) до начала корд. наз. модулем комп. числа Z. Аргументом числа Z 0, наз угол , кот-й образует радиус-вектор точки Z и полож направл оси OX.
Argz = argz (главное знач аргумента) + 2 k k Z
- <argz<
argz =
z = x+iy=zcos +izin =z(cos +isin )
z=r(cos + isin ) (!)
z1 = r1(cos + isin )
z2 = r2(cos + isin ) тогда
z1*z2 = r1*r2(cos( 1+ 2) + isin( 1+ 2)
zn = rn(cos(n ) + isin(n )
- Формула Муавра (!)
Формулы Эйлера:
; (!)
; ; ;
Билет 2.
Многочлены.
Многочлен (полином) относительно переменной z - это
2z4-5z3+2z=(z2-1)(2 z2-5z+2)+(-3z-2)
Qm(z) Tk(z) Rc(z)
Значит Pn(z) = Qm(z) Tk(z) + Rc(z) (*), где m<=n m+k=n, l<n;
Если Rc(z) = 0, то Pn(z) делится на Qm(z).
Назовем компл. число z1 корнем многочл. Pn(z), если Pn(z1).
Теор. БЕЗУ: многочлен не нулевой степени Pn(z) делится на двучлен z-z1, тогда и только тогда, когда z1 является корнем Pn(z).
Запишем (*) для Pn(z) и z-z1: Pn(z) = (z-z1)Tn-1(z)+ Rc(z) => z:=z1.
Основная теорема алгебры(Гаусса): всякий многочлен Pn(z) не нулевой степени имеет по крайней мере 1 комплексный корень.
Компл. число z1 наз. корнем кратности к1 многочл. Pn(z), если
Pn(z) = (z-z1)к1Тn-k1(z)
Следствие: Многочл. Pn(z) имеет n комлексных корней с учетом их кратности:
Pn(z) = an(z-z1)к1(z-z2)к2…
Пусть z1 – корень Pn(z) с действ. коэф-ми, тогда корень Pn(z)
Pn( )= = =0
Комплексно-сопряж. корни входят в разложение многочлена парами.
(z-z1)(z- )=z2+p1z+q1
Pn(x) – с действ. коэф.
Pn(x)=an(x-x1)k1(x-x2)k2*…*(x-xl)kl(x2+p1x+q1)R1(x2+p2x+q2)R2*…*(x2+pmx+qm)Rm
X1, x2,…,xn – действ. Корни
k1, k2,…,kn – их кратности
P1, P2,…,Pn, q1, q2,…,qn – действ. числа
k1+k2+…+kl+2R1+2R2+…+2Rm = n
Билет 3
(рациональные дроби и их разложение на суммы простейших дробей методы нахождения коэффицентов разложения)
Пусть знаменатель правильной рациональной дроби может быть представлен в виде (множителей вида может быть несколько), где — заданные числа
трехчлен не имеет действительных корней.
Тогда представляется в виде суммы простейших дробей
1—3 типов:
где — неизвестные коэффициенты, которые находятся путем приведения суммы справа к общему знаменателю и последующего приравнивания полученного числителя к Доказательство представлено в [3. С.354].
Примеры:
1)
2)
3)
Два метода нахождения коэффициентов в разложении рассмотрим на примере.
Пример:
Поскольку (см. пример в
п. 16.1.1), то
Правильную рациональную дробь под интегралом представим в виде суммы простейших:
(16.1)
Первый метод — метод неопределенных коэффициентов — заключается в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях х в (16.1):
Второй метод — метод частных значений — заключается в подстановке значений х в (16.1), в первую очередь, корней знаменателя:
Окончательно имеем
Билет 4.
Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла.
Пусть ф-ция f(x) определена на X. Ф-ция F(x) – первообразная для f(x) на X, если F’(x)=f(x) для любого x € X.
F(x) – первообразная, F(x)+C – первообразная.
для
;
Совокупность всех первообразных F(x)+C для ф-ции f(x), определенное на X, называется неопределенным интегралом от ф-ции f(x) на X и обозначается
;
Основные свойства неопределенного интеграла.
1).
2).
3).
4).
Билет 5.
Замена переменной в неопределенном интеграле.
Внесение множителя под знак диффиринциала.
Теорема: Пусть определена и диф-ма на X. U- множество значений ф-ции . Для f(U) существует F(U) на U. Тогда для g(x) на X сущ-т первообразная , т.е.
Док-во:
На практике:
Вынесение множителя из-под знака дифференциала.
Теорема: Пусть определена и диф-ма на T. на Т. Для g(t) на Т существует G(t). , тогда для f(x) на X существует первообразная .
Док-во: возрастающая гарантировано (обратная).
На практике:
Билет 6.
Интегрирование по частям в неопределённом интеграле.
Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует , тогда
На Х существует , причем = u(x)v(x)- , или
;
Док-во:
d(uv)=vdu+udv;
Билет Интегрирование рациональных функций.
Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей.
Типы дробей:
1) , 2) ,3) ,4)
1)
2)
3)
4)
- рекуррентная формула
Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln,arctg, степенная.
Билет 7
Напомним, что рациональной алгебраической функцией называется дробь, в которой числитель и знаменатель являются многочленами с вещественными коэффициентами. Обозначим рациональную дробь через , где и многочлены степени и соответственно.Рассмотрим случай, когда степень числителя больше или равна степени знаменателя, т.е. . Разделим многочлен на многочлен с остатком, получим, что , где -многочлен степени , - многочлен степени .
Далее заметим, что при интегрировании можно без особого труда проинтегрировать . Перейдем к рассмотрению неопределенного интеграла от . Хорошо известно, что многочлен можно разложить на линейные и квадратические множители. Поступим таким образом со знаменателем, т.е.
где , - степень знаменателя, т.е. многочлена . Тогда рациональная дробь разлагается на сумму элементарных дробей следующим образом:
Коэффициенты , и находятся методом неопределенных коэффициентов.
Далее интегрируя каждую из полученных дробей, получаем ответ.
Проинтегрируем первые дроби. Достаточно рассмотреть следующий интеграл:
Билет 8.
Интегрирование тригонометрических функций.
tg(x/2)=t – универсальная тригоном. подстановка.
; ; ;
Специальная тригоном. подстановка:
R(-sinx,cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда cosx = t;
R(sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда sinx = t;
R(-sinx,-cosx)dx = -R(sinx,cosx), тогда tgx = t;
Интегралы вида:
m,n Z, m,n >= 0;