1.2.1. Метрологические характеристики си.

Технические характеристики СИ, оказывающие влияние на результаты и погрешности измерений, называются метрологическими характеристиками(МХ)

От точности характеристик при изготовлении СИ, стабильности их в процессе эксплуатации зависит точность результатов измерений.

К метрологическим характеристикам относятся: функции преобразования ИП, чувствительность измерительного прибора, цена деления шкалы аналогового ИП, порог чувствительности, диапазон измерений, вариация показаний, надежность СИ и т.д.

Функция преобразования ИП (градуировочная характеристика, уравнение преобразования) - это зависимость между выходным сигналом измерительного прибора и его входным сигналом

(1)

в неявной форме, а для прибора прямого действия (рис.1) можно записать

(2)

где = - коэффициент прямого преобразования.

Эта функция может быть представлена аналитически, графически или в виде таблицы.

Идеальная функция преобразования представляет линейную зависимость (рис.3), но под действием тех или иных причин может иметь нелинейный вид (рис.4).

У

dy

dx

0 Х

Рис.3

;

const - коэф. преобр. для идеальных ИП.

У

dy

y=k(x)x

dx

0 x

Рис.4

vari

vari- для реальных.

Для прибора уравновешивающего преобразования функция преобразования записывается в виде

(3)

где - коэффициент преобразования измерительного прибора сравнения.

Если функция преобразования прибора в целом линейна, то в соответствии с рис.2 можно записать

СУ

(4)

• результат сравнения, действующий на входе цепи прямого преобразования;

(5)

- коэффициент преобразования цепи обратного преобразования;

(6)

• коэффициент преобразования цепи прямого преобразования.

Тогда коэффициент уравновешивающего преобразования с учетом (4), (5) и (6)

(7)

Таким образом, общий коэффициент уравновешивающего преобразования враз меньше коэффициента прямого преобразования.

Если, то, т.е. качество цепи прямого преобразования практически не влияет на качество работы прибора в целом.

Вывод: воздействие дестабилизирующих факторов на не влияет на характеристику СИ при большем.

Чувствительность измерительного прибора - характеризует способность прибора реагировать на изменения входного сигнала.

Чувствительность определяется из уравнения преобразования и представляет собой отношение изменения сигнала на выходе прибора к вызывающему его изменению сигналана входе прибора:

- общий вид (8)

При линейном уравнении преобразования

(9)

При нелинейном уравнении чувствительность зависит от уровня входного сигнала и может быть найдена в заданной области характеристики преобразования

= vari (10)

Сопоставляя (9) с (2) и (3) нетрудно заметить, что чувствительность S совпадает с коэффициентом преобразования K.

Цена деления шкалы аналогового ИП (или постоянная прибора) - разность значений величин, соответствующих двум соседним отметкам шкалы. Она связана с чувствительностью зависимостью

(11)

Чувствительность и цена деления - величины размерные. Например, для аналогового стрелочного вольтметра если , то.

Порог чувствительности прибора - наименьшее значение измеряемой величины, вызывающее различимое изменение показания прибора.

Вариация показаний - наибольшая возможная разность между отдельными повторными показаниями прибора, соответствующими одному и тому же значению измеряемой величины при неизменных внешних условиях. Вариация характеризует устойчивость показаний прибора. (В стрелочных приборах вариация показаний вызвана трением в опорах подвижной части прибора, люфтом оси рамки в подшипниках).

1. Классификация измерений.

Виды измерений. По способу нахождения числового значения физической величины измерения подразделяются на прямые, косвенные, совокупные и совместные.

Прямые измерения - измерения, при которых искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных (например, измерение тока амперметром путем отсчета значения величины по шкале прибора).

Косвенные измерения - измерения, при которых искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой искомой величиной и другими величинами, определяемыми прямым измерением. (Например, определение значения определения резистора "методом амперметра и вольтметра" по измеренным значениям напряжениятока).

Скорости .

Совокупные измерения - одновременные измерения несколько одноименных величин, при которых искомое значение величин находят решением системы уравнений, составленных из результатов различных сочетаний этих величин.

Пример совокупного измерения: измерение сопротивлений обмоток двигателя с тремя обмотками соединенных звездой, путем измерений сопротивлений между различными вершинами звезды. Точка "0" недоступна для измерений.

Рис.6

(12)

Совместные измерения - производимые одновременно измерения двух или нескольких не одноименных (различных) величин для нахождения зависимости между ними. Число уравнений должно быть равно числу подлежащих определению величин. Например, измерение, при котором сопротивление резистора при температуреи его температурные коэффициентынаходят по данным прямых измерений сопротивленияи температуры, выполненных при разных температурах, является совместным измерением:

(13)

Методы измерений. Различают два метода измерения: непосредственной оценки и сравнения с мерой.

Метод непосредственной оценки - метод измерений, в котором значение величины определяют непосредственно по отсчетному устройству измерительного прибора прямого действия, заранее градуированного в единицах измеряемой физической величины. Поскольку данный метод прост, он и наиболее распространен, хотя точность его не высока.

Метод сравнения с мерой - метод измерений, в котором измеряемую величину сравнивают с величиной, воспроизводимой мерой. Этот метод по сравнению с методом непосредственной оценки более точен, но более сложен.

Разновидности метода сравнения имеют следующие модификации: противопоставления, дифференциальный, нулевой, замещения, совпадения.

Метод противопоставления - метод сравнения с мерой, в котором измеряемая величина и величина, воспроизводимая мерой, одновременно воздействует на прибор сравнения, с помощью которого устанавливается соотношение между этими величинами. Метод применяют при измерении ЭДС, напряжения, тока, частоты, параметров элементов схемы. Характерным является наличие двух источников энергии. (Метод фигур Лиссажу…)

Дифференциальный метод - метод сравнения с мерой, в котором на измерительный прибор воздействует разность между измеряемой величиной и известной величиной, воспроизводимой мерой.

Точность метода возрастает с уменьшением разности между значениями сравниваемых величин. Метод применяют при измерении параметров цепей (сопротивления, индуктивности, емкости), напряжения и др. (Пример: приборы с использованием компараторов и т.д.).

Разновидность этого метода - нулевой метод - метод сравнения с мерой, в котором результирующий эффект воздействия величин на прибор сравнения доводит до нуля (мостовые моторы).

Метод замещения - метод сравнения с мерой, в котором измеряемую величину замещают известной величиной, воспроизводимой мерой. Метод замещения часто применяют при измерении параметров цепей (R,L,C).

Метод совпадения - метод сравнения с мерой, в котором разность между измеряемой величиной и величиной, воспроизводимой мерой, измеряют, используя совпадения отметок шкал или периодических сигналов. Метод применяют при измерении частот, интервалов времени. (Например, стробоскопический метод измерения частоты, числа оборотов вращения детали с помощью мигающей лампы) совпадение числа оборота метки с частотой вспышки стробоскопа.

2.5 Единицы измерений.

Размер физической величины определяется соотношением ,

где - числовое значение этой величины,

- единица измерения физической величины (принято писать в квадратных скобках!)

Это соотношение называется основным уравнением измерения, так как целью измерения, по существу, является определением числа .

Обеспечение единства измерений предполагает, прежде всего, повсеместное использование общепринятых и строго определенных единиц физических величин.

Единицы физических величин подразделяются на основные и производные единицы.

Совокупность выбранных основных единиц и образованных с их помощью единиц производных называется системой единиц.

Правила, по которым тот или иной комплекс единиц выбирается в качестве основного, не могут быть обоснованы теоретически. Аргументом в пользу выбора может служить лишь эффективность и целесообразность использования данной системы. За историю развития естественных наук таких систем было предложено несколько (СГС, МТС. МКС и т.д.).

Для практических целей измерения в качестве основных величин и единиц следует выбирать такие, которые могут быть воспроизведены с наибольшей точностью.

В механике это длина, масса и время, в термодинамике - температура, в электродинамике и фотометрии - сила электрического тока и сила света, в электрохимии - количество вещества.

В октябре 1958 г. Международный комитет законодательной метрологии в г.Париж объявляет об установлении Международной системы единиц измерения - СИ (SI- фр.Systeme International). С 1января 1982 г. введен в действие ГОСТ8.417-81 (на основе СТСЭВ1052-78) "ГСИ. Единицы физических величин", в соответствии с которым осуществляется переход на Международную систему единиц СИ во всех областных наук, техники, народного хозяйства, а также в учебном процессе во всех учебных заведениях.

Основных единиц измерения семь:

Табл.1

Величина	Обозначение размерности	Единица измерения	Обозначение
			русск.	междунар.
Длина Масса Время Сила электрического тока Термодинамическая температура Сила света Количество вещества	L M T I J N	метр килограмм секунда ампер кельин кандела(свеча) моль	м кг с А К кд моль	м kg s A K cd mol

Введены также две дополнительные единицы:

Табл.2

Величина	Единица измерения	Обозначение		Определение
		русск.	междунар.
Плоский угол	Радиан	рад	rad	Радиан равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу
Телесный угол	Стерадиан (стере греч. - пространственный	ср	sr	Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы, вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, равной радиусу сферы.

Производные единицы Международной системы, как правило, образуют с помощью простейших уравнений связи между физическими величинами, в которых числовые коэффициенты равны 1. Для образования производных единиц величины в уравнениях связи принимаются равными основным и дополнительным единицам СИ.

Пример: Единицу скорости образуют с помощью уравнения, определяющего скорость прямолинейно и равномерно движущейся точки

, (15)

где - скорость,- длина пройденного пути,- время движения точки.

Подстановка вместо иединиц СИ дает

Следовательно, единицей скорости СИ является метр в секунду.

Таким образом для любой производной величины может быть определена ееразмерность (анг. Dimension [di'menэn]), отражающая ее связь с основными единицами системы, в виде

(16)

где - полный набор основных единиц системы,

- показатели степени для каждой конкретной производной физической величины находятся из уравнений, связывающий ее с основными величинами ( часть этих показателей обычно оказывается равной нулю). Для рассмотренного выше примера

, т.е.

Соотношение (16) называется формулой размерности.

Некоторые производные единицы имеют собственные наименования, а другие обозначаются в виде произведения степеней других единиц, например:

Табл.3.

Величина	Размерность	Наименование	Обозначение
Электрическая емкость Электрическое сопротивление Напряженность электрического поля Количество электричества ( электрический заряд) Частота		Фарада Ом Вольт на метр Кулон герц	Ф Ом В/м Кл Гц

Совместно с единицами системы СИ допускается использование кратных и дольных единиц, которые образуются путем добавления к названию единицы определенной приставки, означающей умножение данной единицы на 10ⁿ , где n - целое положительное (для кратных единиц) или отрицательное (для дальних единиц).

Табл.4.

Множитель	Приставка	Обозначение
		русск.	Межд.
1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18	экса пета тера гига мега кило гекто декабрь деци санти милли микро нано пико фемто атто	Э П Т Г М к г да д с м мк н п ф а	E P T G M k h da d c m n p f a

Совместно с системой СИ допускается использование - там, где это целесообразно, - некоторых внесистемных единиц:

Пример: Табл.5

Величина	Внесистемные единицы	Обозначение
Время	Минута, час, сутки	Мин, ч, сут.
Масса	тонна	т
Температура	Градус Цельсия Градус Фаренгейта	(Centigrade) (Fahrenheit)

Кроме рассмотренных видов единиц широко применяются относительные и логарифмические величины. Они представляют собой соответственно отношение двух одноименных величин и логарифм этого отношения.

К относительным величинам, в частности, относятся атомные и молекулярные массы химических элементов.

Относительные величины могут выражаться 9% уксус (9 г уксуса в 100 г раствора) в безразмерных единицах, в процентах (1%  0,01) или в промилле (1‰ 0,001  0,1%).

Значения логарифмических величин выражается: в неперах (Нп) согласно формуле

(17)

-в телеграфии затухание электрического сигнала

или в белах (Б)

-в электронике, акустике. (18)

Если , то

В этих отношениях и- энергетические величины ( мощность, энергия, плотность энергии…), и- силовые величины ( напряжение, ток, напряженность поля, звуковое давление и т.д.)

Если а, то

Если , а, то

В радиотехнике, электронике и акустике логарифмические величины чаще выражают в децибелах (1дБ=0,1Б; 1Б=10дБ).

(19)

2. Основы теории погрешностей и обработки результатов измерения.

1. Виды погрешностей (классификация погрешностей) по следующим признакам:

а) по способу оценки - абсолютная погрешность

- относительная погрешность

б) в зависимости от причины возникновения

- методическая

- инструментальная

- от внешних условий

- субъективная

в) от характера проявления - систематическая

- случайная

г) по характеру зависимости от измеряемой величины

- аддитивная

- мультипликативная.

При любом измерении неизбежны обусловленные разнообразными причинами отклонения результатов измерения от истинного значения измеряемой величины.

Истинные значения физических величин - это значения, идеальным образом отражающие свойства данного объекта.

Погрешность измерения - отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Различают по способу оценки абсолютную и относительную погрешность измерения.

Абсолютная погрешность измерения равна разности между результатом измеренияи истинным значением измеряемой величины

(20)

Но поскольку истинное значение измеряемой величины неизвестно, то вместо истинного значения подставляют так называемое действительное значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него

(21)

Относительная погрешность измерения представляет собой отношение (в процентах) абсолютной погрешности измерения к истинному значению измеряемой величины или действительному значению

(22)

Абсолютная погрешность измерения выражается в тех же единицах, что и измеряемая величина, относительная погрешность безразмерна.

Существует также такой качественный показатель измерения, как точность измерения, отражающий

(23)

близость результата к истинному значению изм. величины.

Пример: Если в результате измерения установлено, что относительная погрешность нестабильности частоты генератора электрических колебаний

то точность поддержания частоты .

Погрешности классифицируются по следующим признакам:

В зависимости от причин возникновения различаются: погрешности метода измерений (методическая погрешность), возникающая из-за несовершенства метода, принципа или методики измерения; инструментальные погрешности, зависящие от погрешностей средств измерения; погрешности, вызванные изменением внешних условий; субъективные погрешности, возникающие из-за недостаточно точного отсчитывания показаний средств измерения. От таких погрешностей нужно отличать промахи - неверные результаты измерения, получаемые в результате субъективной ошибки в измерении. При отработке результатов многократных наблюдений промахи должны быть выявлены и исключены из рассмотрения.

В зависимости от характера проявления (закономерности проявления) при повторении измерений различаются следующие виды погрешностей:

Систематическая погрешность - это составляющая погрешности, которая остается постоянной или закономерно изменяется при повторных измерениях одной и той же величины (например, погрешность градуировки шкалы, температурная погрешность, погрешность установки статического и электрического "нуля" стрелочного прибора и т.д.).

Систематическая погрешность принципиально предсказуема и если она определена достаточно точно, то может быть исключена (вручную или автоматически) введением поправки (равной систематической погрешности с обратным знаком) или поправочного множителя.

Случайная погрешность - это составляющая погрешности, которая изменяется случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины, Такого рода погрешность является следствием случайных процессов (закономерности которых установить не удается) в измерительных цепях и во (влияющей) внешней среде.

Пример, погрешность, обусловленная собственными шумами средств измерений или дискретным характером показаний цифрового прибора.

Принципиальным отличием случайной погрешности от систематической является то, что ее значение для единичных наблюдений не может быть предсказано, Путем многократных измерений одной и той же величины и статистической обработки результатов значение случайной погрешности может быть найдено вероятностными методами.

В общем случае погрешность измерения состоит из суммы систематической и случайной погрешности

(24)

Среди погрешностей средств измерения (инструментальных) различаются:

• статистическая погрешность, имеющая место при измерениипостоянной величины (или изменяющейся настолько медленно, что инерционные свойства средств измерения при этом не появляются);

• динамическая погрешность , возникающая при измерении переменных величин за счет инерционных свойств средств измерений - разность между погрешностью при измерении переменной во времени величины и статистической погрешностью;

• основная погрешность - погрешность в нормальных условиях (устанавливаемых в стандартах и технических условиях на средства измерения данного вида);

• дополнительная погрешность - изменение погрешности вследствие отклонения одной из влияющих величин от нормального значения (например,изменения температуры окружающей среды от нормы);

• приведенная погрешность - выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности измерительного прибора к нормирующему значению, за которое условно принимается либо верхний предел измерений, либо диапазон измерений, либо длина шкалы и т.п. (см.рис.7)

3.2. Зависимость погрешностей от значения измеряемой величины Х.

По характеру зависимости от измеряемой величины погрешности можно разделить на аддитивные (не зависящие от Х, лат. additivus - придаточный,

получаемый путем сложения) и мультипликативные (зависящие от Х, лат. multiplicatio - умножение).

- Если абсолютная погрешность измерительного прибора не зависит от измеряемой величины, то предел допускаемой основной погрешности может быть выражен одним числом

Такая погрешность называется аддитивной.

Примером может служить погрешность, связанная с неточной установкой нуля стрелочного прибора. Аддитивная погрешность постоянна во всем диапазоне измерений, в том числе и при Х=0, поэтому ее часто называют "погрешностью нуля".

• Если погрешность прибора зависит от измеряемой величины, предел допускаемой погрешности выражается формулой

= vari (26)

где b - постоянная величина (для линейной погрешности и переменная величина при нелинейном характере погрешности); - предельное значениемультипликативной погрешности; a - это предельное значение аддитивной погрешности.

Таким образом, мультипликативная погрешность прямо пропорциональна значению Х. (см.рис.9).

Рис.9

Примером мультипликативной погрешности может быть изменение коэффициента усиления канала прямого преобразования СИ в следствии нелинейности ВАХ усилительных элементов (транзистора - насыщения) или нагрузки, или старения элементов усилителя со временем, или изменения напряжения питания и т.п.

Нормирование погрешности прибора.

Приведенная (нормированная) аддитивная погрешность может быть записана в виде

(27)

Приведенную (относительную) мультипликативную погрешность (с учетом и аддитивной погрешности) можно записать в общем виде где - положительные постоянные величины,

- конечное значение диапазона измерений.

Если:

1. 

2. 

3. (29)

4. (30)

Пример: Универсальный мост Е7-4 имеет основную относительную

погрешность при измерении (в %):

- сопротивления на частоте 100Гц,

0,110⁶ 0Гц,

• емкости С[nФ]

1010² 1000Гц,

- индуктивности L[мкГ]

10²10⁶ 1000Гц,

• добротности Q

130 1000Гц,

100Гц.

Поведение аддитивных и мультипликативных погрешностей с изменением измеряемой величины и их влияние на характеристику преобразования показано на рис.10

Рис.10

Формулы вида (27) и (28) используют при нормировании погрешностей средств измерения. Погрешности средств измерений при нормировании округляют до двух значащих цифр и выбирают равными ближайшему числу из следующего ряда: 110ⁿ ; 1,510ⁿ ; 210ⁿ ; 2,510ⁿ ; 410ⁿ ; 510ⁿ ; 610ⁿ (n=1,0,-1,-2…).

В зависимости от величины пределов допускаемых основных и дополнительных погрешностей, в соответствии с ГОСТ 8.401 - 80, устанавливаются классы точности средств измерения.

Разработаны условные обозначения классов точности, которые применяются в документации, а также наносятся на шкалы средств измерения.

Класс точности совпадает со значением:

1. предельной (допускаемой) основной погрешности, выражаемой в процентах и округленной до ближайшего числа из указанного выше ряда.

2. относительной.

3. абсолютной.

Пример: обозначения классов точности Таблица 6.

Форма выражения основной погрешности	Расчет допускаемой основной погрешности по формуле	Пределы допускаемой основной погрешности %	Обозначение класса точности на шкале прибора
			в доку-ментации	на приборе
Приведенная основная погрешность (предельная)	для СИ с равномерной шкалой- нормирование по пределу шкалы для СИ с неравномерной шкалой и нормирование производится по длине шкалы.	Примеры: % %	Класс точности 1,5 Класс точности 0,5	В правой половине шкалы (как правило) 1,5 0,5
Относительная основная погрешность		% %	Класс точности 0,5 Класс точности 0,02/0,01	0,5 0,02/0,01
Абсолютная основная погрешность	или по более сложной формуле	Пример1, 2 (см. после таблицы 6).	Класс точности М	М

Пример1. Пусть стрелочный (аналоговый) вольтметр имеет шкалу 0300В, его класс точности 1,0.

1. С какой абсолютной погрешностью можно измерить на этом приборе напряжение 220В?

а) Обозначение 1,0 означает основная приведенная предельная погрешность %

б) Предельная приведенная погрешность (по формуле (27))

%. Отсюда абсолютная погрешность

в) Результат измерения

2. Какова относительная погрешность, если измерять 10В? 150?

Пример2. Цифровой вольтметр с классом точности 0,02/0,01 используется для измерения напряжения 220В на диапазоне ( точнее). Какова абсолютная погрешность измерения?

Основная относительная погрешность на этом диапазоне ( согласно формуле (28))

Вывод: на цифровых вольтметрах измерение выполняется с большей точностью.

3. Характеристики случайных погрешностей.

Составляющая погрешности измерения (см.(24)),изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины, называется погрешностью измерения. Случайная погрешность определяется (обуславливается, вызывается) факторами, проявляющимися нерегулярно с изменяющейся интенсивностью. (Например, воздействие помех и т.п.) значение случайной составляющей погрешности измерения невозможно предвидеть и, следовательно, исключить. Влияние случайной погрешности уменьшают применением многократных измерении с дальнейшей статистической обработкой полученных результатов методами теории вероятностей. Познакомимся с основными положениями этого метода. Таким образом, из-за влияния многочисленных и принципиально неустранимых факторов, обуславливающих случайные погрешности, результат каждого измерения будет отличаться от истинного значения Х измеряемой величины:

(31)

Эту разность называют случайной погрешностью отдельного измерения.

Истинное значение Х нам не известно. Однако, проведя большое количество измерений исследуемой величины Х, можно выявить следующие статистические закономерности (постулаты).

1. Если проводить серию измерений исследуемой величины и определить среднее арифметическое (среднее) значение, то положительные и отрицательные отклонения отдельных результатов измерений от среднего значения имеют приблизительно равную вероятность. Это является причиной того, что имеется равная вероятность (частота) отклонения результатов измерения от истинного значения величины в сторону уменьшения и увеличения (в том случае, когда систематическая погрешность равна нулю). Среднее арифметическое значение, вычисленное на основании ряда измерений, является наиболее достоверным значением, которое можно приписать измеряемой величине. При вычислении среднего арифметического значения большого числа измерений погрешности отдельных измерений, имеющие разный знак, взаимно компенсируются.

2. Вероятность (частота) появления больших отклонений от полученного результата значительно меньше вероятности (частоты) появления малых отклонений. Эти статистические закономерности справедливы лишь при многократном повторении измерений (). После обработки результатов измерений, получаетсяне абсолютно достоверный, а наиболее вероятный результат и этим результатом будет среднее арифметическое значение ряда измерений (в дальнейшем эту величину будем называть также математическим ожиданием результатов измерений).

(32)

где n- число измерений. Тогда .

Указанные статистические закономерности большого числа измерений позволяют поставить вопрос о законе, по которому происходит распределение случайных погрешностей . В практике электрорадиоизмеренийнаиболее распространенным законом распределения погрешностей является гауссовский закон (закон Гаусса) или нормальный закон распределения. Широкое распространение нормального распределения погрешностей в практике объясняется центральной предельной теоремой, которая утверждает, что рассмотрение случайных погрешностей будет близко к нормальному всякий раз, когда результаты наблюдения формируются под влиянием большого числа независимо действующих факторов, каждый из которых оказывает лишь незначительное действие по сравнению с одинарным действием всех остальных.

Аналитически он описывается выражением

, (33)

где -плотность вероятности случайной погрешности -параметр, характеризующийстепень случайного разброса результатов отдельных измерений относительно истинного значения Х (в дальнейшем так же будем называть средним квадратическим или стандартным значением).

По своему смыслу плотность вероятности равна отношению вероятности (частоты) попадания случайной величины внутрь интервала к длине этого интервала в предположении, что последняя стремится к нулю.

Величину называютсредним квадратическим отклонением случайной погрешности измерения и определяют из соотношения

(34)

где - численный результат отдельного измерения, а- число измерений.

Характер кривых, описываемых (33) показан на рис.11 для четырех значений . Эта функция графически изображается колоколообразной кривой, симметричной относительно оси ординат, асимптотически приближающейся к оси абсцисс при. Максимум этой кривой получается в точке, а величина этого максимума

(35)

Рис.11.

0,4	0,4	0,6	0,8	0,14	1,2	0,01
0,5	0,5	0,49	1,0	0,11	1,5	0,0089
1,0	1,0	0,24	2,0	0,05	3,0	0,0045
2,0	2,0	0,12	4,0	0,03	6,0	0,0022

Как видно из рисунка, чем меньше , тем уже кривая и, следовательно, темреже встречаются большие отклонения, т.е. тем точнее выполняются измерения.

Вероятность появления погрешности в пределах между (квантилями) иопределяется площадью заштрихованного участка на рис.12, т.е. определенным интервалом от функции

(35)

Рис.12

Эта функция получила название интегральной функции распределения.

В общем виде (36)

Вероятность того, что погрешность любой величины и знака попадает в интервалабсолютно достоверна, т.е. равна 1 (т.к., событие состоялось, событие не состоялось). Или в процентах.

Интеграл (35) подстановкой

сводится к виду

(37)

Интеграл (37) часто называют интегральной функцией ошибок или нормальным интегралом ошибок. Интеграл табулирован (представлен в таблице во многих справочниках, например, Бронштейн И.Н., Сомякуяев К.А. Справочник по математике, стр.81 1954г.).

На рис.13 его значения представлены графически

Таким образом, с вероятностью 0,683 случайные погрешности измерения не выходят за пределы ,с вероятностью 0,997 случайная погрешность находится в пределах , т.е. только 3 измерения из 1000 могут дать погрешность, превышающую. Это свойство нормального закона распределения называетсязаконом трех сигм.

Считается, что появление погрешности равной маловероятной, если число измерений превышает несколько десятков. Поэтому погрешность считаетсямаксимально возможной случайной погрешностью. Погрешности больше считаютсяпромахами и при обработке результатов измерений не учитываются (исключаются).

Соотношения (33) и (34) выведены из условия, что число измерений (одной и той же величины) . Напрактике число измерений конечно, и это приводит к необходимости введения поправок, роль которых снижается при увеличении числа измерений, так как (среднее арифметическое значение ряда измерений) и(истинное значение величины) все более сближаются и в пределе (при большом числе измерений) становятся равными.

Если вместо ввестии вместоввести, то, как доказывается в математической статистике формула (34) принимает вид

(38)

для 50<n< для10 <n20

Данным соотношением можно пользоваться при n..

Степень случайного разброса среднего арифметического значения ряда измерений от истинного значенияприконечном числе измерений характеризуется средней квадратической погрешностью среднего арифметического ряда измерений , которое равно

, (39)

где - абсолютная погрешность единичного рядаn- измерений,

- средняя квадратическая погрешность единичного ряда измерений,

- число измерений в одном ряде измерений.

Серия k измерений одной

n той же величины

_____________

средние арифметические значения серий измерений

( каждого ряда измерений)

; ;;

стандартное отклоне- среднее арифмети- стандартное отклонение

ние единичного ряда ческое значение средних арифметических

измерений. среднеарифметичес- значений серии измерений.

ких значений серии.

Если бы производили К серий измерений одной и той же величины по n измерений в каждом ряду, то полученные средние арифметические значения имели бы некоторый разброс относительносреднего значения этих средних арифметических величин. При этом показано в теории погрешностей, что этот разброс в раз меньше отклонений отдельных измерений от среднего арифметического единичного ряда измерений, т.е.

.

На практике (при малом числе измерений n) для оценки точности и надежности полученных результатов вводятся понятия доверительной вероятности и доверительного интервала.

Под доверительной вероятностью понимают вероятность появления погрешности не выходящей за некоторые принятые границы. Этот интервал называется доверительным интервалом, а характеризующая его вероятность - доверительной вероятностью.

При гауссовском законе распределения по таблице интеграла вероятности можно определить значения доверительных интервалов, При увеличении доверительных интервалов значение доверительной вероятности возрастает, стремясь к своему пределу, равному единице, Как уже отмечалось, для интервала значение вероятности составления 0,9973. С введением новых понятий это можно интерпретировать так, длядоверительного интервала от доверительная вероятность равна 0,9973. (при ).

Соответственно для интервала от доверительная вероятность равна 0,954.

Определение доверительных интервалов с использованием соотношений (33) и (37) справедливо лишь при числе измерений n>20…30.

На практике приходится оценивать погрешности по результатам сравнительно небольшого количества измерений. Применение формулы (37) в этом случае дает заниженное значение доверительного интервала, т.е. оценка точности измерения оказывается неоправданно завышенной. В этом случае уточнять доверительный интервал можно с помощью коэффициентов Стьюдента , которые зависят от задаваемой доверительной вероятностии числа измерений.

Для определения доверительного интервала среднюю квадратическую погрешность среднеарифметического ряда измерений надо умножить на коэффициент Стьюдента (квантиль).

Окончательный результат измерений можно записать так:

, (40)

- доверительный интервал с поправкой на малое число измерений.

Таким образом последовательность статистической обработки результатов измерений при малом числе измерений (n<20):

1. получено n измерений одной величины

2. определяется среднее арифметическое этого ряда

3. вычисляются абсолютные погрешности каждого измерения

4. определяется "среднеквадратическое средних арифметических значений" (хотя и не производятся серии повторных измерений)

Поправки, обусловленные малым количеством малым количеством ряда измерений и заменой истинного значения Х на мат. ожидание .

5. определяется коэффициент Стьюдента для заданного числа измерений, например n=8 и доверительной вероятности, например P=0,95

Таблица 7.

n
	0,50	0,80	0,95	0,98	0,99
1 2 3 . . . 8 . . 30 00	1,00 0,71 0,68 0,67	3,08 1,40 1,31 1,28	12,71 2,31 2,04 1,96	31,82 2,90 2,46 2,33	63,66 3,35 2,75 2,58

6. записывается результат измерения физической величины.

, для 10<n<20

Результат запишется через доверительный интервал

, если 50<n<

7. измеряется ряд значений следующей физической величины и повторяется статистическая обработка этого ряда измерений (п.1п.6)

3. Суммирование погрешностей прямых измерений.

Суммирование систематических погрешностей .

Погрешность измерительного прибора зависит от погрешностей его отдельных узлов.

Систематические погрешности суммируют алгебраически с учетом собственных знаков (если они известны)

(41)

Если знаки систематических погрешностей (хотя бы некоторых) отдельных узлов неизвестны, то суммируют по квадратичному закону

(42)

Суммирование случайных погрешностей .

Случайные погрешности суммируют с учетом их корреляционных связей. Если имеются две случайные величины, характеризуемые средними квадратическими оценками , то суммарную погрешность можно определить по форме, которую дает теория вероятностей

(43)

Коэффициент корреляции r характеризуетвероятную связь между случайными величинами. На практике обычно информация (точная, численная, количественная) о степени корреляционной связи отсутствует и формулу (43) используют при следующих крайних случаях:

r=0 (корреляция отсутствует)

(44)

r=1 (существуетжесткая связь)

(45)

Сложение осуществляется в том случае, когда случайный влияющий фактор вызывает в двух узлах прибора изменение погрешностей в одном направлении, а вычитание, когда изменение погрешностей происходит в противоположных направлениях.

3. Погрешности косвенных измерений.

При косвенных измерениях значение искомой измеряемой величины вычисляют по результатам прямых измерений других величин, связанных с искомой величиной определенной функциональной зависимостью.

Пусть, например, имеется дифференцируемая функция в неявной форме или в виде суммы

X=f(y,z,…t), (46)

где X - искомая величина, y,z,…t - искомые величины.

Вычисление систематической погрешности.

Допустим, что величины y,z,…t измерены с систематическими погрешностями .

Абсолютная систематическая погрешность определения величины Х определяется по соотношению

(47)

где - частные производные функции (46) по переменным y,z,…t называются коэффициентами влияния.

Суммарная средняя квадратическая случайная погрешность определяется формулой (при отсутствии корреляции между y,z,…t).

(48)

Если функция y=f(y,z,…t) выражается в виде произведения

3. Правила проверки согласия опытного распределения случайной величины с теоретическим.

До сих пор мы считали, что случайные погрешности распределены по нормальному закону, и в соответствии с этим строили методы обработки результатов.

Как отмечалось, хотя в большинстве случает измерения физических величин предположение о нормальности оправдано, бывает необходимо проверить, а так ли это в данной конкретной ситуации.

Это можно выполнить путем построения так называемой гистограммы. Анализ ее формы позволяет выдвинуть гипотезу о предполагаемой закономерности распределения случайной величины. Степень соответствия между выдвинутой гипотезой и результатами наблюдений устанавливается с помощью критерия согласия.

Остановимся более подробно на методике построения гистограммы - графического представления распределения результатов измерения (их случайных отклонений).

Гистограмма - это график распределения результатов ограниченного количества измерений (n>30…50) одной и той же величины.

Графическое представление результатов большого числа измерений (n) - это криваяпредельной функции распределения (например, нормального закона Гаусса, равномерный закон, треугольный закон распределения Симпсона, закон Релея и т.д.).

Допустим, произведено n-число (n>30) измерений одной и той же величины одним и тем же оператором, на одном и том же оборудовании и в одних и тех же условиях (такие измерения называются равноточными).

а). Эти значения случайных величин

б). Этот вариационный ряд значений располагают в порядке возрастания величины слева направо

в). Весь диапазон полученных результатов измерений разделяют наr интервалов ("бинов") шириной

Ширина равномерных интервалов равна

(51)

Определим границы интервалов

Число интервалов r определяется числом измерений n и может быть выбрана на основании таблицы рекомендованной ВНИИМ

Таблица 8

n	r
< 30 30 - 100 100 - 500 500 - 1000 1000 - 10000	5 - 8 7 - 9 8 - 12 10 - 16 12 - 22

Следует соблюдать некоторую осторожность при выборе ширины бинов для гистограммы. Если бины выбраны слишком широкими, то все (или почти все) отсчеты попадут в один бин и гистограмма выродится в малоинтересный единственный прямоугольник. Если же бины выбраны слишком узкими, то лишь небольшое их число будет содержать более чем один отсчет и сама гистограмма будет состоять из большого числа узких прямоугольников, почти одинаковой высоты. Если распределение крайне неравномерно, то в области максимальной концентрации результатов измерений следует выбирать более узкие интервалы, бины.

Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношение ее высоты к основанию составляло примерно 5:8.

г). Подсчитывают частоты , равные числу результатов, лежащих в каждомi-м интервале, т.е. меньших или равных его правой и больших левой границы

Отношение , (52)

где n - общее число наблюдений называется частостями (частость) и представляют собой статистические оценки вероятностей попадания результата измерения в i-й интервал. Распределение частостей по интервалам образуют статистическое распределение результатов измерений.

д). Если теперь разделить частость на длину интервала, то получим величины (53)

являющиеся оценками средней плотности распределения в интервале .

е) Отложим вдоль оси (абсцисс) интервалы в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале построим прямоугольник с высотой равной . Полученный график называетсягистограммой статистического распределения.

Сумма площадей всех прямоугольников равна единице:

Пример: Было выполнено 100 измерений среднего диаметра резьбового калибра. Результаты измерений лежат в диапазоне 8,911 - 8,927 мм, т.е. ширина зоны распределения результатов составляет 0,016 мм. Весь диапазон удобно разделить на восемь равных интервалов (бинов) через 0,002 мм. В таблице приведены частоты частностии плотностистатистического распределения

Таблица 9

I
1 2 3 4 5 6 7 8	8,911 8,913 8,915 8,917 8,919 8,921 8,923 8,925	8,913 8,915 8,917 8,919 8,921 8,923 8,925 8,927	1 5 14 27 24 18 9 2	0,01 0,05 0,14 0,27 0,24 0,18 0,09 0,02	5 25 70 135 120 90 45 10

Математическое окружение результатов измерения =8,91936 мм,

Стандартное отклонение мм

Уравнение кривой нормального распределения

(54)

При увеличении числа наблюдений число интервалов можно увеличить, а сами интервалы уменьшить, тогда гистограмма все больше приближается к плавной кривой, ограничивающей единичную площадь - к графику плотность распределения результатов наблюдений описываемой формулой (33). Параметры могут быть вычислены по формулам (39) и (32).

Пример построения гистограммы дан на рис.14.

ЛИТЕРАТУРА

По метрологии:

1. Дворяшин Б.В. Основы метрологии и радиоизмерения. 1993г.

2. Тартаковский Д.Ф., Ястребов А.С. Метрология, стандартизация и технич. средства измерений. М. ВШ. 2001г.

3. Бурдун Г.Д. и др. Основы метрологии. 1985г.

4. Вяселев М.Р. Основы метрологии РЭА, КАИ. 1986г.

5. Под. ред. Душина Е.М. (Авдеев Б.Я. и др.) Основы метрологии и электрич. Измерения. Л. 1987г.

6. Атамалян Э.Г. Приборы и методы измерения электрических величин. М. 1989г.

7. Атамалян Э.Г. и др. Методы и средства измерения электрических величин. М. 1974г.

По средствам и методам измерения:

1. п. 5, 6, 7 из литературы по метрологии

2. Кукуш В.Д. Электрорадиоизмерения. М. 1985г.

3. Винокуров В.И. и др. Электрорадиоизмерения. М. 1986г.