1.3. Твердые растворы

Твердые растворы (ТР) - кристаллические фазы переменного состава, в которых атомы элемента В размещаются в пространственной решетке элемента А, не изменяя ее типа.

Для ТР характерен металлический тип межатомной связи. Твердые растворы обозначают: , , ,  или А(В). Твердые растворы всегда более тверды, чем чистые металлы, менее пластичны. Их образование всегда сопровождается увеличением электрического сопротивления, как правило, снижаются пластичность и вязкость. Твердые растворы бывают упорядоченными и неупорядоченными. Твердые растворы, устойчивые при сравнительно низких температурах, получили название упорядоченных твердых растворов, или сверхструктур. Полностью упорядоченные растворы образуются в том случае, когда отношение компонентов в сплаве равно целому числу: 1:1, 1:2, 1:3 и т.д. Они занимают промежуточное положение между твердыми растворами и химическими соединениями. При изменении температуры происходит разупорядочение ТР с соответствующим изменением свойств. Температуру разупорядочения _к называют точкой Курнакова. Упорядоченные твердые растворы обозначают буквами ’, ’, ’, ’. Все металлы могут в той или иной степени взаимно растворяться друг в друге в твердом состоянии. В тех случаях, когда компоненты могут замещать друг друга в кристаллических решетках в любых количественных соотношениях, образуется непрерывный ряд твердых растворов. Твердые растворы замещения с неограниченной растворимостью могут образоваться при соблюдении следующих условий: 1. Компоненты должны обладать одинаковыми по типу (изоморфными) кристаллическими решетками. 2. Различие в атомных размерах компонентов должно быть не значительным и не превышать 8 – 15 %. 3. Компоненты должны принадлежать к одной и той же группе периодической системы элементов или к смежным родственным группам и в связи с этим иметь близкое строение валентной оболочки электронов в атомах.

13.Дифференцируемость функции многих переменных. Производная по направлению. Градиент. U=f(x) диф-ма в точке х, если её приращение можно представить в виде: , где p= . Теорема. U=f(x) диф-ма в точке х, тогда она в этой точке имеет частные производные по всем переменным и её диф-л опред.: du= Теорема 2. Если u=f(x) имеет в х частные производные, непрерывные в некоторой окружности точки х, тогда ф-ция u=f(x) диф-ма в точке х. Док-во: Производная по направлению. Градиент. Пусть u=f(x,y,z),(x,y,z) , l(l1,l2,l3)-вектор. - приращение вдоль направления L.Производной ф-ции u по нaправлению L наз-ют предел и обоз-ют . Вектор наз-ют градиентом ф-ции u=f(xn) и обозначают grad f= grad u. Cв-ва:

1. grad(

2. grad (fg)= g grad f+ f grad g

3. grad h(f)= (f) grad f

14.Производные и дифференциалы высших порядков для функций многих переменных. Формула Тейлора

Для функции y=f(x) производной порядка n называют производную производной порядка n-1. Обозначают (x), . Теорема. Если u=f(x) имеет на некотором множ-ве D непрерывные частные производные до n-порядка включительно, то она наз-ся n-раз непрерывно диф-ой на множ-ве D.

Дифференциалом порядка n функции наз-ют диф-л от дифференциала порядка n-1. Обозначают . Диф-ом нулевого порядка считают .

Формула Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке а все производные до порядка n включительно. Представление f(x) в виде : f(x)= (x-a)+ -наз-ют формулой Тейлора порядка n в точке a. Остаточным многочленом формулы Тейлора наз-ют разность , где - Многочлен Тейлора.

15.Экстремум функции многих переменных Безусловный экстремум Точка x0, y0 наз-ся точкой локального min(max), если сущ. Такая окрестность U(x0,y0) этой точки, что f(x,y) f(x0,y0), Теорема. Если u=f(x,y) имеет в x0,y0 локальный экстремум и диф-ма в этой же точке, то . Теорема. Пусть u=f(x0,y0) диф-ма в окрестности точки x0,y0 и дважды диф-ма x0,y0. Обозначим

D=a11a22- 12 Тогда если: 1) D>0,то ф-ция имеет локальный экстремум 2) D<0-экстремума нет 3) D=0- требуются дополнительные исследования Условный экстремум (x0,y0) наз-ся точкой условного лок-ого min(max), если сущ-ет такая окрестность U, что f(x,y) f(x0,y0), f(x,y) f(x0,y0), (x,y) U(x0,y0)/ Задача отыскания точек условного эк-ма равносильна поиску точек безусловного эк-ма, так наз-ой ф-ции Лангранжа: -составим ф-цию:

где  - вектор Лангранжа.

-Составим систему из уравнений

-Если полученная система имеет решение, то есть решение исходной задачи

16.Площадь фигуры и объём тела

Под фигурой в будем понимать любое множество точек. Прямоугольник П= . Площадь будем обозначать , тогда площадь прямоуг. .

Фигура F наз. эл-ой, если она сост. из конечных прям-ов Пi, которые имеют общие точки возможно лишь на границе. Элементарные фигуры , наз. соответственно описанными и вписанными в фигуру D, если .Внутренняя площадь S -sup, внешняя S -inf. Фигура D наз. квадрируемой, когда площадь её границы равна 0.

Объём. Под телом в будем понимать произвольное множество точек. Параллелепипед P= . . Эл-ым телом F наз. тело сост. из объединения конечного числа парал.Fi, которые имеют общие точки возможно лишь на границе. , наз. соответственно описан. и вписанным в тело D, если . Внутренний наз. sup, внешний -inf. Тело D будет кубируемым , когда объём его границы равен 0.

19.Тройной интеграл. Если сущ. Конечный предел не зависящий от разбиения и выбора точек ( , ) то этот предел назыв. тройным интегралом и обозна-ся Тройной интеграл изучают и используют по аналогам с двойным. Аналогично двойному интегралу сущ. формулы,позволяющие перейти от тройного интегр. к повторному(или двойному) Например,если T-парал-ед, а -его проекция на плоскость , то тройной интеграл = =

Пусть ф-ция f(x,y,z)непрерывна на D,тогда тройной интеграл по D ,

где I(u,v,w)-матрица Якоби отображения ,(u.v.w) Отметим основные классы интегрирования ф-ции:

1.непрерывные на компакте 2.оганиченные и непрерывные на мн-ве D,за исключением подмножества мн-ва D,объем которого равен 0.

3. произведение интегрируемых ф-ций.

20.Криволинейный интеграл первого рода, формула его вычисления. Определение 1. Интегральной суммой для функции f (x; y) по дуге AB называется сумма вида: . Определение 2. Криволинейным интегралом от функции f (x; y) по дуге AB (или криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной суммы вида при условиях:

1) ; 2) этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения дуги AB на части, ни от выбора на каждой из частей точек . Теорема.Пусть ф-ция x(t),y(t),z(t) определяющие кривую непрерывно дифференцир-мы,тогда криволин. интеграл можно вычислить по фbормуле dt

21.Свойства криволинейного интеграла первого рода. 1.Св-во линейности

2.Если f(x,y,z) g(x,y,z),то

3. Если кривая сост. из 2-х частей ,то

4.Если m f(x,y,z)

5.(теорема о среднем значении)

Если f(x,y,z) непрерывна на кривой ,а f-длина кривой

17.Определение двойного интеграла и его свойства Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная плоская область, т.е. множество D ⊂ R^2 и пусть функция двух переменных f ( x,y ) определена во всех точках области D. D=D1 ∪D2 ∪… ∪Dn = ∪Di , и обозначим площадь i-ой части через ∆Si = S(Di). Выберем в каждой части Di по точке Mi(xi,yi) и составим интегральную сумму ∑ f(xi,yi) ∆Si . Если существует конечный предел этих интегральных сумм при λ → 0 , не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек Mi, то этот предел называется двойным интегралом от функции f (x,y) по области D, и обозначается: ∫∫ f(x,y)dxdy Теорема . Если множество D замкнуто ограниченно и связно, а функция f (x,y) непрерывна на множестве D, то есть точка M0 (x0 ;y0 )∈D такая ,что ∫∫f( x, y) dxdy =f (M0)S(D). Свойства: Линейность. ∫∫(α f(x,y)+ β g(x,y) )dxdy= α ∫∫f( x ,y) dxdy+ β ∫∫ g( x, y) dxd Аддитивность. ∫∫ f (x, y) dxdy=∫∫f (x, y) dxdy+∫∫f (x, y) dxdy Интеграл от константы. ∫∫С dxdy=C S(D), если С=const Переход к неравенству. Если для всех точек M ( x,y)∈ D верно неравенство f ( x,y ) ≤ g(x,y), то ∫∫f (x, y) dxdy ≤ ∫∫g(x,y)dxdy

18.Сведение двойного интеграла к повторному Теорема 1. . Если функция f(x, y) интегрируема в прямоугольнике P = [a, b]  [c, d] и если x  [a, b] существует интеграл   тогда существует повторный интеграл  и он равен двойному: Замечание Если f(x, y) интегрируема на E и y  [c, d] существует   то он интегрируем по y на [c, d] и Теорема  2. Если  функция f(x, y) интегрируема на E и x  [a, b] существует интеграл   то существует и повторный интеграл   и он равен двойному, т.е.

22.Криволинейный интеграл второго рода и формула его вычисления. Связь с криволинейным интегралом первого рода. Определение.Если сущ. конечные пределы интегральных сумм , , при , , ,то эти пределы назыв. криволин. интегралами 2-ого рода по кривой и соответственно обозначаются ; Общий криволинейный интеграл 2-ого рода обозначают При смене на кривой направления кривол. инт. 2-го рода меняет знак: =- Теорема. Пусть ф-ции x(t),y(t),z(t), входящие в определение кривой непрерывно дифференцир. на [a,b],ф-ции P(x,y,z), непрерывны на кривой ,тогда справедлива формула Связь между кривол. ин. 1-го и 2-го рода. Пусть (cos ) есть единичный направляющ. вектор касательно к кривой )dS

24.Комплексные числа. Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bi. Здесь  a и  b – действительные числа, а  i – мнимая единица, т.e.  i ² = –1. Число  a называется абсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bi. Два комплексных числа  a+ bi и  a – bi называются сопряжёнными комплексными числами. Модулем комплексного числа называется длина вектора OP.. Модуль комплексного числа  a+ bi обозначается  | a+ bi | или буквой  r  и равен: Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу  a и ординату b комплексного числа  a + bi  можно выразить через его модуль  r  и аргумент : Рассм. 2 комплексн. числа, запис. в тригонометр. формуле: z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) и z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂). Имеем: 1) z₁₊ z₂₌ r₁cos φ₁+ r₂cos φ₂ +i( r₁sin φ₁+ r₂sin φ₂₎

1. z_1* z₂₌ r₁r₂(cos φ₁+ isin φ₁  )( cos φ₂ + i sin φ₂)= r₁r₂(cos φ₁ cos φ₂ +i cos φ₁ sin φ₂+

isin r₁r₂cos φ₂ -sin φ₁ sin φ₂)= r₁r₂(cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)

Из этой формулы след. формула Муавра:

.

3.

4. +isin ,k=0,n-1

23.Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Формула Грина, условие Эйлера. Определение. Криволинейный интеграл II рода называется независящим от пути интегрирования, если результат интегрирования будет один и тот же по любому пути, соединяющему точки A и B, на котором функции P (x;y) и Q (x;y) непрерывны. Обозначение такого интеграла: Теорема(формула Грина).пусть ф-ции P и Q имеют в области D непрерывные частные произ-ые,тогда инт. ,при этом граница в области G обходится положит. направл-ем. Формула Грина исп. для вычисления площадей. Условие Эйлера -назыв. условием Эйлера Теорема.Пусть односвязное мн-во G ограничено кривой L,т.е. кривая L замкнутая.И пусть ф-ция P и Q непрерывно диференц. в области G.Тогда след. 4 услов. эквивалентны: 1. 2.Интеграл в области G не зависит от пути интегрирования. 3.Выражение явл. полным дифференц. в области G.

4.Ф-ции P и Q удовлетв. условию Эйлера

Замечание.При нахождении ф-ции F за основу можно брать рав-во ,котор. сначало интегрир. по перемен. y,а затем дифференц. по перем. x.