26) Квантовая механическая задача об атоме водорода Решение уравнения Шрёдингера. Краткий обзор результатов

Решение уравнения Шрёдингера для водородного атома использует факт, что кулоновский потенциалявляется изотропным, то есть не зависит от направления в пространстве, другими словами обладает сферической симметрией. Хотя конечные волновые функции (орбитали) не обязательно сферически симметричны непосредственно, их зависимость от угловой координаты следуют полностью из этой изотропии основного потенциала: собственные значения оператора Гамильтона можно выбрать в виде собственных состояний оператора углового момента. Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Отсюда следует, что собственные состояния гамильтониана задаются двумя квантовыми числами углового момента l и m (целые числа). Квантовое число углового момента l может принимать значения 0, 1, 2... и определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число может принимать m = −l, .., +l определяет проекцию углового момента на (произвольно выбранную) ось z.

В дополнение к математическим выражениям для волновых функций полного углового момента и проекции углового момента, нужно найти выражение для радиальной зависимости волновой функции. В потенциале 1/r радиальные волновые функции записываются с использованием полиномов Лагерра). Это приводит к третьему квантовому числу, которое называется основное квантовое число n и может принимать значения 1, 2, 3... Основное квантовое число в атоме водорода связано с полной энергией атома. Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничена основным квантовым числом: оно может изменяться только до n − 1, то есть l = 0, 1, ..., n − 1.

Из-за сохранения углового момента, состояния с тем же l, но различными m имеют ту же самую энергию (это выполняется для всех проблем с аксиальной симметрией. Кроме того, для водородного атома, состояния с тем же самым n, но разными l также вырождены (то есть, они имеют ту же самую энергию). Однако, это - определенная особенность атома водорода и не верно для более сложных атомов, которые имеют (эффективный) потенциал, отличающийся от кулоновского (из-за присутствия внутренних электронов,экранирующих потенциал ядра).

Если мы примем во внимание спин электрона то появится последнее квантовое число, проекция углового момента собственного вращения электрона на ось Z, которая может принимать два значения. Поэтому, любое собственное состояние электрона в водородном атоме описывается полностью четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это объясняет также, почему выбор оси Z для квантованиянаправления вектора углового момента является несущественным: орбиталь для данных l и m ', полученных для другой выделенной оси Z ', всегда представляеся как подходящая суперпозиция различных состояний с разными m (но тем же самым l), которые были получены для Z.