Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл

Работа сил - это мера изменения энергии.

П усть тело перемещается из точки 1 в точку 2 по некоторой криволинейной траектории под действием некоторой силы F, тогда выражение электрической работы выражается ,

.

Т. е. работа по перемещению материальной точки определяется разностью кинетической энергии в начальном и конечном положении. Отметим, что приращение кинетической энергии определяется не только внешней, но и внутренними силами, в отличие от импульса,

,

,

,

.

Мощность - характеризует мгновенное значение скорости передачи энергии.

.

Закон сохранения энергии и его связь с однородностью времени. Покажем, что закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени. Однородность времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени: если в любые два момента времени замкнутую систему поставить в совершенно одинаковые условия, то начиная с этих моментов времени все процессы в системе будут протекать совершенно одинаково. Из однородности времени следует, что потенциальная энергия замкнутой системы не может зависеть явно от времени, т.е. изменяться с течением времени при условиях неизменности конфигурации системы: .

Поэтому, если в системе не действуют непотенциальные силы или эти силы не совершают работы ( ), то, согласно уравнению , вытекающему из второго закона Ньютона, механическая энергия такой замкнутой системы (замкнутой консервативной системы) не изменяется с течением времени. Этот вывод легко распространить также на случай системы, находящейся в стационарном потенциальном внешнем поле, так как и в этом случае из однородности времени следует справедливость условия .

Закон сохранения механической энергии:

Механическая энергия консервативной системы не изменяется с течением времени.

Если система замкнута, то изменение ее механической энергии обусловлено только действием в ней непотенциальных сил: . В частности, работа диссипативных сил (например, сил трения движения) всегда отрицательна. Поэтому действие в замкнутой системе одних только диссипативных сил приводит к постепенному уменьшению механической энергии этой системы. Такой процесс называется диссипацией энергии, а сама механическая системе, в которой действуют диссипативные силы, - диссипативной системой. При диссипации энергии происходит преобразование механической энергии системы в другие виды энергии (например, в энергию беспорядочного теплового движения молекул, образующих тела системы).

Удар абсолютно упругих и неупругих тел.

При соударении двух тел в точке соприкосновения очень быстро возникают огромные силы реакции. Обычно эти силы столь велики, что в точке соприкосновения тела испытывают деформацию. Большие, но кратковременные силы реакции приводят к изменению направления и скорости движения.

Соударения разделяют на:

упругие и неупругие:

центральные и нецентральные.

При любом соударении выполняется три закона сохранения:

Закон сохранения полной механической энергии;

Закон сохранения импульса (в векторном виде);

Закон сохранения момента импульса (в векторном виде).

Упругое соударение. При упругом соударении полная кинетическая энергия остаётся постоянной. При лобовом соударении изменяются только модули скоростей, а при не лобовом изменяются ещё и направления скоростей тел.

Рассмотрим случай абсолютно упругого соударения. Пусть два абсолютно упругих шара массами и движутся до удара поступательно со скоростями и , направленными вдоль оси , проходящей через центр шаров. Нужно найти скорости и шаров после соударения. В процессе удара систему соударяющихся упругих тел можно считать замкнутой и консервативной. Следовательно, для решения этой задачи можно воспользоваться законами сохранения механической энергии и импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела не деформированы, так что потенциальную энергию системы в этих двух состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона сохранения энергии имеем: . По закону сохранения импульса: . Имеем , . Совместное решение этих уравнений дает: , в итоге получаем и .

Существует два частных случая:

1) Массы шаров одинаковы, тогда и .

2)Масса второго шара во много раз больше массы первого шара. Тогда , . Если при этом второй шар первоначально покоится ( ),то и , т.е. первый шар отскакивает от неподвижного массивного шара и движется в обратную сторону со скоростью .

Неупругое соударение

При неупругом соударении сохраняется полная энергия системы. Часть кинетической энергии переходит во внутреннюю (потенциальную).При неупругом соударении часть кинетической энергии теряется и превращается в тепловую. Рассмотрим случай, когда тела после соударения деформируются, т. е. m₁v₁+m₂v₂=(m₁+m₂)v^/. Отсюда .

Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки

При изучении вращательного движения твердого тела оказывается, что те величины, которые мы использовали для поступательного движения, не объясняют того, что происходит с твердым телом, в этой связи вводят еще дополнительно такие понятия, как момент силы, момент импульса.

П усть материальная точка движется по криволинейной траектории под действием силы . Тогда по определению моментом силы относительно точки О называется векторное произведение , , где . Направление определяется по правилу Буравчика. Вектор перпендикулярен плоскости векторов и .

П орядок множителей в векторном произведении важен, т. к. при изменении порядка множителей меняется знак вектора , т. е. .

Моментом импульса по определению называется векторное произведение радиус-вектора на импульс, ,

, ,

, .

Если на твердое тело действует не одна, а несколько сил, то суммарный момент сил, приложенных к телу, определяется их суммой . Аналогично для момента импульса .