Исследование колебательных процессов по фазовым траекториям

Колебания, возникающие в нелинейных системах, называются автоколебаниями.

В отличие от линейных систем характер колебательных процессов в нелинейных системах может отличаться от гармонического, причем амплитуда колебаний определяется параметрами звеньев, а не начальными условиями, как в линейных системах.

Фазовый портрет, соответствующий автоколебательному процессу, содержит замкнутую траекторию, или так называемый предельный цикл.

z

y

Если все траектории, начинающиеся внутри и снаружи предельного цикла, сходятся к нему, то такой предельный цикл называется устойчивым, и ему будут соответствовать устойчивые автоколебания, причем, если колебания возникают при любых начальных условиях, система называется автоколебательной с мягким возбуждением.

Если же необходимы начальные отклонения у или z больше некоторой величины, то это система с жестким возбуждением.

Системе с жестким возбуждением соответствует фазовый портрет с 2-мя предельными циклами, внутренний – неустойчивый.

z

y

Метод точечных преобразований

Чтобы не строить полностью фазовую траекторию, поступают следующим образом: задав начальные условия, например, при , по уравнению фазовой траектории определяют координаты в точке следующего пересечения фазовой траектории с действительной полуосью, на которой находится точка а.

z

b a y

1. Если , причем , то амплитуда колебаний уменьшается, процесс затухает.

2. Если , имеется предельный цикл, амплитуда постоянна.

3. Если , то колебательный процесс расходится, амплитуда возрастает.

Е сли есть возможность, получают зависимость .

b

b1

b2

a2 a1 a3 a

Для такого характера если , то процесс будет сходиться к 0.

Если , то колебательный процесс будет сходиться к , и 1-й предельный цикл будет неустойчивым, а 2-й – устойчивым.

Приближенные методы исследования автоколебаний

Метод гармонической линеаризации.

Рассмотрим на примере конкретной системы

-

Предположим, что на вход нелинейного звена поступает гармонический сигнал .

Нелинейность имеет вид:

Q

a

-b b х

-a

Рис.1

На выходе будет:

Q u

b

t₁ t₂ T t₃ t

ψ₁ π ψ₂ 2π ψ₃ ψ

-b

-Q

Как видно, на выходе нелинейного звена получились прямоугольные 2-полярные колебания с периодом, равным Т.

Такие колебания, очевидно, можно представить с помощью ряда Фурье:

,

Где

Если линейная часть является инерционной системой с убывающей амплитудно-частотной характеристикой, то высшие гармоники сглаживаются линейной частью (имеем фильтр, т.к. убывающая амплитудная характеристика соответствует фильтру высоких частот). В этом случае в качестве выхода нелинейного звена можно рассматривать только первую гармонику, т.к. остальные все равно будут сглажены линейной частью.

Тогда .

В связи с тем, что вид колебаний на выходе нелинейного звена зависит от амплитуды входного колебания, коэффициенты , определяются амплитудой входного сигнала.

Введем новые коэффициенты:

, .

,

где ,

,

,

,

.

Имеем некоторую характеристику нелинейного звена , которая является аналогом частотной характеристики линейного звена, поскольку она изменяет амплитуду и фазу входного гармонического сигнала, не изменяя частоты. Но зависит эта характеристика не от частоты колебаний, а от амплитуды.

Фактически нелинейная система была сведена к линейной (линеаризована), и характеристика нелинейного звена равна .

Как известно, в замкнутой линейной системе возникают колебания в случае, когда комплексная частотная характеристика разомкнутой системы проходит через точку (при устойчивой линейной части), т.е.:

Если это комплексное уравнение имеет действительные корни , то в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания.

Решают уравнение либо численно, сведя его к 2-м скалярным уравнениям:

,

либо графически, представив в виде , называемом уравнением Гольдфарба:

Im

Re

W_Л(jω) -1/J(A)

Точки пересечения графиков дают корни уравнения A и ω.

- эквивалентная частотная характеристика (эквивалентная передаточная функция) получается для конкретной статической характеристики нелинейности (см. рис.1) и выхода нелинейного звена u(t) (рис.2) из коэффициентов ряда Фурье следующим путем:

Чтобы упростить интеграл, рассмотрим интервал . Тогда

Разбивая интеграл на участки :

Тогда

.

Как видно, .

Определив коэффициенты ряда Фурье, необходимо найти значение уравнения:

.

, т.е. определить значения , которые преобразуют уравнение в тождество, для чего уравнение можно разделить на скалярные:

,

и найти все решения.