16. Момент инерции тела относительно неподвижной оси. Теорема Штейнера.

Согласно второму закону Ньютона, для тангенциальной составляющей силы  , действующей на материальную точку массой m, и ускорения

можем записать

С учетом, что

   и   

Имеем 

Помножим левую и правую части на   и получим    

или

Произведение массы материальной точки m₁ тела на квадрат ее расстояния r_i² до оси вращения называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения:

   

Теорема Штейнера: момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела I_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями.

Для установления связи между моментом инерции тел относительно двух параллельных осей применяется теорема Штейнера:

где - момент инерции относительно новой оси

- момент инерции относительно центра масс

d – расстояние между осями

Тело	рисунок	Момент инерции	тело	рисунок	Момент инерции
Однородный стержень		Относительно края стержня:	Полый цилиндр с внутренним r и внешним R радиусами
Сплошной цилиндр радиуса R.			Тонкое кольцо радиусом R и ширенной d
Однородный диск			Сплошной шар	-
Тонкое кольцо радиуса R.			Сфера	-

17. Момент импульса механической системы. Закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса L материальной точки относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиуса-вектора материальной точки, проведенного из точки О, на импульс этой материальной точки

. (1)

С оответственно, моментом импульса механической системы (твердого тела) относительно неподвижной точки О называется вектор L_сист, равный геометрической сумме моментов импульса относительно той же точки всех материальных точек системы

,

где n – число материальных точек системы.

Моментом импульса механической системы (твердого тела) относительно оси называется проекция на эту ось вектора момента импульса системы относительно любой точки, выбранной на рассматриваемой оси. Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, момент импульса равен

L_z = J_z, (2)

где J – момент инерции тела относительно оси вращения, _z – проекция вектора угловой скорости на ось вращения. Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела в его вращении вокруг этой оси.

Для замкнутой механической системы выполняется закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса:

Если суммарный момент всех внешних сил действующих на систему тел относительно произвольной неподвижной оси равен 0, то векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени

Каждое из слагаемых в этой сумме с течением времени может меняться, однако сумма остается постоянной.