14. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела.

В ыведем уравнение динамики вращательного движения тела. Из выражений (4.1), (4.2) и (4.3) следует, что скорость изменения момента импульса i-й материальной точки определяется следующим образом:                                                                            (4.6)       

С ложим почленно уравнения (4.6), записанные для каждой из материальных точек тела:                                                             (4.7)       

В екторная сумма моментов M_i всех внешних сил, приложенных к телу, называетсярезультирующим, или главным, моментом M внешних сил относительно точки О:

 

В екторная сумма моментов импульса L_i всех материальных точек тела называетсямоментом импульса L тела относительно точки О:

Так как производная от суммы равна сумме производных от всех слагаемых, то

       Наконец, векторная сумма моментов относительно точки О всех внутренних сил F_ikвзаимодействия между точками тела равна нулю, т.е.

т ак как по третьему закону Ньютона силы F_ik и F_ki численно равны, имеют общую линию действия, но направлены в противоположные стороны (рис. 4.4). Поэтому их моменты M_ik = [r_i, F_ik] и M_ki = [r_k, F_ki] относительно точки О численно равны и противоположны по направлению (на рис. 4.4 точки m_i, m_k и О лежат в горизонтальной плоскости, а векторы M_ik и M_kiперпендикулярны этой плоскости). Действительно, r_k = r_i + r_ki, гдеr_ki - вектор, проведенный из точки m_i в точку m_k. Поэтому M_ki = [r_k, F_ki] + [r_ki, F_ki] = -[r_i, F_ik] = -M_ik, так как векторное произведение векторов r_ki и F_ki, направленных вдоль одной прямой, равно нулю.       На основании изложенного уравнение (4.7) можно записать в следующем виде:                                                                                                    (4.8)      

 Таким образом, скорость изменения момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равна результирующему моменту относительно этой точки всех внешних сил, приложенных к телу.       Полученный результат называется основным законом динамики вращательного движения тела, закрепленного в одной неподвижной точке. Момент импульса является основной динамической характеристикой твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.

15. Момент инерции материальной точки.

1. Момент инерции материальной точки,

Момент инерции м.т. ( ) относительно полюса – скалярная величина, равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния до полюса:

(1)

(2)

2. Момент инерции системы материальных точек

Тело можно представить состоящим из большого числа м.т., тогда момент инерции системы м.т. равен:

, (3)

где - масса i - ой м.т.

- ее расстояние до полюса О.

Моментом инерции системы м.т. или тела относительно полюса называют алгебраическую сумму произведений масс м.т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса О.