3 Статистическое определение вероятности.

Недост классич опред вероят

-данная формула обладает конечн в своем изложении, т.е. предполагает, что множество исходов у любого испыт конечно.

-невозм в любом случае предст результат испыт в виде совокупности элемент. событий.

-не всегда можно указать соображения, по которым событие считаются равновозможными.

Пусть опыт проведен многократно, причем так, что осуществляется серия одинаковых и независимых друг от друга испыт. В каждом из них может появится А. Пусть N число всех провод испыт, а n(А) число испыт в которых наступает соб. А., тогда n(А)/N=W(A)-относит частота появления соб. А в серии из N испытаний. Было замечено, что в больших сериях опытов эти частоты совпад при больших знач N и группир около некоторого постоянного значения Р(А)- вероятности соб. А.в этом и состоит свойство устойч для W, поэтому При вычислении статистической вероят W(A) проведение опыта требуется обязательно в самом начале, поэтому W(A) – послеопытная вероятность, а Р(А) доопытн вероятностью.

Аксиом ТВ

Основу аксиоматики заложил А.М.Колтогоров

I) Аксиомы событий

1.если множества (конечные или счетные) являются событиями, то их объединение тоже событие.

2.Если множество А является событием, то и его дополнение тоже является событием. Замеч. Если - событие, то и их пересечение тоже событие.

Пусть некоторое множ-во, класс подмно-в F из наз-я алгеброй множеств, если выполнены условия: а) б) в)

( ,F)- измеримое пространство. Следствие 1:

следствие 2:

Пусть - измер простр, элемент событий, а F- алгебра событий, тогда Р=Р(.), заданная на событиях из алгебры наз. конечной аддитивной вероятностной мерой, если она удовлетворяет требованиям аксиомам вероятн:

II) 1)Аксиома неотрицательности: каждому случайному событию А поставлено в соответствии неотрицательное число Р(А) называемое его вероятн, т.е. Р(А) 0. 2) Аксиома нормировки. Вероятн достоверного события равна 1

3)Аксиома сложения. Вероятн суммы попарно несовмест событ равна сумме вероятностей этих событий. -вероятностное пространство. Следствие из аксиом

1) Р(Ø)=0 док-во:

2)

3)Если А влечет В, т.е. то Р (А)≤Р(В), Р(В)=Р(А+В+Ā)=[A*B(Ā)=Ø] Р(А)+Р(В* Ā)≥Р(А)

4)Р(А)≤1. А€ , то по следствию (3)А ,Р(А) ≤Р( )=1

4 Аксиоматическое определение вероятности. Пусть задано пространство элементарных событий Е и каждому событию А Е поставлено в соответствие единственное число Р ( А ) такое, что:

1 P(A)>=0

2 для каждой пары несовместных А, B ( Eимеет место равенство :

P (A Ù B)=P(A)+P(B)?

3 P (E)=1

Тогда говорят, что на событиях в множестве Е задана вероятность, а число Р ( А ) называется вероятностью события А .

Теорема сложения вероятностей

Пусть опыт произв N раз, будем рассматр только те случаи наступл событ Nв, кроме того будем рассматр исходы в которых А и В наступ одновр Na*b, тогда отношения Nab/Nb – показ какую долю от числа тех опытов, которых наступ В составляет число таких опытов в которых наступ Аи В одноврем. Это отнош будем назыв част появл событ А при усл наступ событ В или просто условн част А. С увелич числа опытов N условная частота колеб около числа P(A/B).Nab/Nb=Nab/N*N/Nb=Nab/N׃Nb/N→P(AB)/P(B)=P(A,B)

Условн вероятн- число, около котор колебл услов част в больш сериях опытов. Очевид Р(А/В)≠Р(А)

Свойст условн вероятн.

1) Если В влечет А

2) Вероятн невозможн событ, при условии В: Р(Ø/В)=0 Р(Ø/В)= Р(Ø/В)/Р(В)=Р(Ø)/Р(В)=0

3) Достоверное событие Ω: Р(Ω/В)=1 Р(Ω/В)= Р(Ω/В)/Р(В)= P(B)/P(B)=1

4)если несовместимы, т.е.

Док-во: Р((А₁+А₂ )/В)=Р((А₁+А₂)/В)/Р((А₁+А₂)/В)= Р((А₁+А₂)*В)/Р(В)= )=[ А₁* А₂= Ø]=Р(А₁/В)+Р(А₂/В)/Р(В)= Р(А₁/В)+Р(А₂/В) и т.д.

5) Для любого А €Ω, тогда Р(А/В)+Р(Ā/В)=1.

6)теорема умножения для условных вероятностей

P(A*B)=P(A/B)*P(B)=P(B/A)*P(A)

Определ: вероятн произвед 2-х событий будем называ выраж, равное вероятн одного событ при услов друг, умножен на вероятн самого услов.

5 . Условная вероятность. Теорема произведения вероятностей зависимых событ.

Условн. вер-тью наз вер-ть события В при условии, что соб А уже наступило. Условн вер-ть обознач Р(В/А).

Теорема произвед двух соб=произвед вероятностей одного из них на условную вер-ть другого события. Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) Предположение что 1 событ произошло Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) Р(АВ)=Р(В)*Р(А/В)

Теор. Умен. Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)

Д-во: n- всех исходов, А-m исх, АВ-k исх

m-A

{{****}******}

k-AB

P(AB)=k/n-вер-тьсобыт Р(В/A)=k/m P(AB)=k/n*m/n P(A)=m/n P(AB)=k/m*m/n=P(A)*P(B/A)

Теор. P(A1,A2,...An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)...P(An(A1...A_n-1)

событиями

1) сумма двух событий А и В – это А+В(U), это значит происходит хотя бы одно событие. Суммой n событий называется событие , которое обозначает, что происходит хотя бы одно из этих событий.

2) произведением событий А и В называется событие АВ и заключается в том, что события являются одновременными и являются совместными. - все события появляются одновременно.

6 Опр: события называются независимыми если появление одного из них не изменяет вероятность второго события.

Т: если события А и В являются независимыми то также независимыми являются пары событий (А; В)(наоборот)(Ā;В)(наоборот). Теорема: Вероятность совместного появления двух независимых событий и (произведения и ) равна произведению вероятностей этих событий.

Доказательство: События и независимы, следовательно . В этом случае формула произведения событий и можно записать как .

События называются попарно независимыми, если независимы любые два из них.

События называются независимыми в совокупности, если каждое из этих событий и событие равное произведению любого числа остальных событий, независимы.

Теорема: Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий.