Лекции по алгебре и аналитической геометрии / 8subspaces

Доказательство. Так как , то столбцы линейно независимы они служат координатами линейно независимых векторов, которые можно выбрать в качестве нового базиса в . ■

Теперь рассмотрим, как связаны координаты вектора в различных базисах. Пусть вектор имеет координаты и в базисах и соответственно, т.е.

и .

В силу , откуда в силу единственности разложения по базису имеем .

Пример. Пусть рассматриваются вектора на плоскости и пусть . Пусть новый базис получается из старого поворотом на угол против часовой стрелки. Тогда , и матрица перехода имеет вид:

.

Поэтому

.