Вопросы по алгебре и геометрии [1 семестр]

Вопросы по курсу линейной алгебры и аналитической геометрии.

Линейная алгебра.

1. Матрицы. Терминология. Обозначения. Примеры.

2. Операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число, произведение матриц. Примеры.

3. Элементарные преобразование матрицы. Примеры.

4. Понятие определителя. Разложение определителя по произвольной строке и произвольному столбцу.

5. Свойства определителя: линейность, антисимметричность, транспонирование определителя, определитель произведения матриц. Примеры.

6. Понятие обратной матрицы. Критерий существования обратной матрицы к данной матрице (с доказательством). Метод Жордана нахождения обратной матрицы. Примеры.

7. Теорема о базисном миноре с доказательством.

8. Понятие ранга матрицы. Элементарные преобразования и ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы. Примеры.

9. Понятие системы линейных уравнений. Терминология. Примеры.

10. Теорема Кронекера-Капелли с доказательством.

11. Эквивалентные линейные системы. Эквивалентность линейных систем и элементарные преобразования.

12. Метод Гаусса решение линейных систем уравнений. Примеры.

13. Однородные линейные системы. Фундаментальная система решений. Выражение общего решения через фундаментальную систему решений. Примеры.

Векторная алгебра.

1. Понятия связного и свободного векторов. Линейные операции над векторами: сложение векторов и умножение на число. Линейные свойства векторов. Примеры.

2. Координаты и компоненты вектора. Линейные операции над векторами в координатах (формулы с выводом). Примеры.

3. Проекция вектора на ось. Свойство суммы проекций и выражение проекции через длину вектора и косинус угла.

4. Скалярное произведение векторов. Примеры. Линейные свойства скалярного произведения. Выражение скалярного произведения через координаты (формула с выводом). Примеры.

5. Направляющие косинусы вектора. Направляющие косинусы единичного вектора. Приме-

ðû.6. Векторное произведение: определение и свойства. Площадь параллелограмма и треугольника. Выражение векторного произведения через координаты (формула с выводом).

7. Смешанное произведение векторов. Объем параллелепипеда (формула с выводом).

Аналитическая геометрия.

1. Прямая на плоскости. Нормальное уравнение прямой. Нормальный вектор прямой. Прямая и уравнение первой степени (все формулы с выводом). Примеры.

2. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору (все с выводом). Примеры.

3. Расстояние от точки до прямой на плоскости (с доказательством). Пример.

4. Угол между прямыми на плоскости (с доказательством формулы). Вывод условий перпендикулярности и параллельности прямых на плоскости. Примеры.

5. Плоскость в пространстве. Нормальное уравнение плоскости (с выводом формулы). Примеры.

6. Общее уравнение плоскости и уравнение первого порядка в пространстве (с выводом формулы). Примеры.

7. Вывод уравнения плоскости, проходящей через данную точку. Примеры.

8. Вывод формулы для нахождения расстояние от точки до плоскости. Примеры.

9. Угол между плоскостями (с доказательством формулы). Условия перпендикулярности и параллельности плоскостей. Примеры.

10. Каноническое уравнение прямой в пространстве (с выводом формулы). Пример.

11. Вывод уравнения прямой в пространстве, проходящей через две данные точки. Пример. 12. Общее уравнение прямой в пространстве. Переход от общего уравнения к каноническому.

Примеры.

13. Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпенидикулярности прямой и плоскости.

14. Пересечение прямой и плоскости. Пример.

15. Преобразование координат на плоскости: параллельный перенос и поворот. Вывод формул для осуществления этих преобразований.

16. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл эллипса (с доказательством). Эксцентриситет эллипса. Свойства эллипса: расположение эллипса на плоскости, оси и центр симметрии, фокальные радиусы, директрисы эллипса. Два геометрических свойства эллипса (с доказательством).Примеры.

17. Каноническое уравнение гиперболы. Геометрический смысл гиперболы (с доказательством). Эксцентриситет гиперболы. Свойства гиперболы: расположение гиперболы на плоскости, асимптоты гиперболы, оси и центр симметрии, фокальные радиусы, директрисы гиперболы. Два геометрических свойства гиперболы. Примеры.

18. Каноническое уравнение параболы. Геометрический смысл параболы (с доказательством). Директриса параболы. Примеры.

19. Классификация кривых второго порядка:0 0; I) переход к уравнению, не содержащему x y

II) приведение к одному из трех видов многочленов

III) окончательное приведение к каноническому виду (9 случаев).

20. Цилиндрические поверхности (с выводом формулы). Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр.

21. Поверхности вращения (с выводом формулы). Примеры.

22. Конические поверхности (с выводом формулы). Конус второго порядка.

23. Поверхности второго порядка, которые получаются с помощью вращения и сжатия: эллипсоид, однополостный гиперболоид, двухполостной гиперболоид, эллиптический параболоид, конус второго порядка (исследование этих поверхностей как сжатых поверхностей вращения).

24. Гиперболический параболоид (исследование с помощью сечений). Примеры.

ПРИМЕЧАНИЕ. Примеры должны приводится ко всем понятиям.