16. Неопределенный интеграл. Множество всех первообразных функций f(X) называется неопределенным интегралом функции f(X) и обозначается .

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральное выражение, переменная х – переменная интегрирования.

Итак, если F(х) – первообразная функции f(х) на промежутке X, то интеграл .

Подчеркнем, что символ обозначает совокупность всех первообразных для функции f(x). Отыскание неопределенного интеграла по известной подынтегральной функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла:

1) Если функция f дифференцируема на некотором промежутке, то на нем выполняется: или ;

2) Пусть функция f(x) имеет первообразную на некотором промежутке I, тогда для всех х из промежутка I выполняется равенство: ;

3) Если ф-ция f имеет первообразную на промежутке I и k – число, но ф-ция также имеет на промежутке I первообразную, причем при справедливо равенство: ;

4) Неопределенный интеграл от суммы двух ф-ций равен сумме интегралов от этих ф-ций: .

17.Метод замены переменной. Под знаком интеграла может оказаться функция, для которой нет табличного интеграла и непосредственное интегрированиеневозможно. В таком случае используют другие приёмы в частности, метод замены переменной. Утв.1:Пусть функция х=φ(t) определена и дифференцируема на промежутке T,а Х-множество её значений. Пусть функция у=f(x) определена на множества Х и имеет на этом промеж.первообразную, тогда справедливо формула:

, которая наз.формулой замены переменной в неопределённом интеграле.

Интегрир. по частям

Утверждение2:Пусть функции u=u(x) и v=v(x), дифферен. на промежутке Х и пусть существ. . Тогда существ. И справедливо формула 2:

Таблица интегралов:

18. Таблица интегралов.Интег-ниерац-ных и иррац-ных функций.

Интегрирование рац ф-ций. Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:

I. 1/ax+b II. 1/ (ax +b)^m III. Mx+N/(ax2+bx+c) IV. Mx+N/(ax2+bx+c) ⁿm, n – натуральные числа (m ≥ 2, n ≥ 2) и b2 – 4ac <0. Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b. 1) .

2)

Интегрирование рациональных дробей : Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби. Теорема: Если R(x)=Q(x)/P(x) = - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)α…(x - b)β(x2 + px + q)λ…(x2 + rx + s)μ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме: где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины. При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Таблица:1)∫х^αdx=x^α+1/α+1+C;2)∫dx/x=ln|x|+c;3)∫a^xdx=a^x/lna+c;4)∫e^xdx=e^x+c;5)∫sinxdx=-cosx+c;

6)∫cosxdx=sinx+c;7)∫dx/cos²x=tgx+c;8)∫dx/sin²x=-ctgx+c;9) ∫tgxdx=-ln|cosx|+c;

10) ∫ctgxdx=ln|sinx|+c;11) ∫dx/a²+x²=1/a*arctgx/a+c;12) ∫dx/x²-a²=1/2a*ln|x-a/x+a|+c;

13) ∫dx/√a²-x²=arcsinx/a+c;14)∫dx/√x²±a²=ln|x+√x²±a²|+c.

19. Интегралы с квадратичной иррациональностью

1) ,где а≠0.Путём дополнения квадратного трёхчлена до полного квадрата,приводится в зависимости от знака aк одному из табличных интегралов.

2) ,где ad≠0. Можно привести к интегралу (9): = = + =

3)Вычислим интеграл: *dx,b>0, *dx,a≠0 (10)

*dx= = (11). Выч. Интеграл по частям. Пологая u=x, du= , тогда du=dx, v= , тогда получим =x *dx. Подставляя в последнее выражение в ф-лу (11) 2 =x +b ,

Интегрирование тригонометрических функции и дифференциального бинома.

1)Интегралы от квадратов и других чётных степеней синуса и косинуса находят,применяя следующие ф-лы понижения степени: ;

2)Интегралы от кубов и других нечётных степеней синуса и косинуса находят,отделяя от нечётной степени один множитель и пологая кофункцию равной новой переменной u.

Интеграл ʃ находятся по правилу 1), если d и c оба чётные и по правилу 2), если d и c нечётно.

20.Определение определённого интеграла. Основные свойства определённого интеграла.Предел от суммы при , если он существует и конечен, называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается: Если существует определенный интеграл от функции f(x) , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке [a,b] .Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции при верхнем и нижнем пределах.

Свойства:

21.Метод трапеций. Приложение определённого интеграла.

Пусть задана ф.f(x)- непрерывная на отрезке [a,b] необходимо вычислить .

Разлбъём отрезок [a,b] на n- равных частичных отрезков точками A=x₀<x₁<…<x_n=b

∆ X_k=X_k-X_k-1=(b-a)/n, k=1;n

Проведя прямыеx= X_k, k=[0;n] всю криволинейную трапецию разобъём на n-частичных криволинейных трапеций.Соединим две соседние точки

( x(k-1); f(x_k-1)), (x(k); f(x_k)) хордой и рассмотрим n прямоугольных трапеций.

Sk-той трапеции равна .

Исходя из геом. смысла опр. интеграла

.

Пусть y_k=f(x_k), тогда . (5).

Для наглядности на рисунке рассмотрена неотрицательная непрерывная ф-ция. Однако по формуле (5) имеет место для любой интегрируемой на отрезке [a,b]ф.f(x).Эта формула наз.формулой трапеций.Она тем точнее, чем больше число n. В частности если ф.f(x) имеет вторую непрерывную производную, то абсолютная погрешность не превосходит .

Приложение опр. интеграла

Из геом смысла определенного интеграла следует, что интервал от a,b ,численно равен Sкриволин. трапеции ограниченной графиком y=f(x), прямыми x=a, x=b, и осью абсцисс (в случае если ф-цияf(x) неотрицательная)

22. Несобственные интегралыОпределённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:1.Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; 2.Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится. Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.Интеграл называется условно сходящимся, если сходится, а расходится. Признак Дирихле. Интеграл сходится, если: 1).функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную на (a, b]; 2).функция g(x) непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], причём. Признак Абеля. Интеграл сходится, если: 1).функция f(x) непрерывна на (a, b] и интеграл сходится; 2).функция g(x) ограничена, непрерывно дифференцируема и монотонна на (a, b], то есть имеет конечный предел:

23.Понятие числового ряда. Пусть {а_n}-числовая послед-ть, где а_n R, n N. Выражение вида а₁+а₂+а₃+…+а_n+…= _n (1) наз.числовымрядом.Числа а₁,а₂,…а_nназ.членамиряда,а а_n-n-м или общим членом ряда (1). Сумма первых n-членов ряда (1) наз. n-ой частичной суммой данного ряда и обознач. S_n: S_n= а₁+а₂+а₃+…+а_n= _к. Имеем S₁=a₁, S₂=a₁+a₂, S₃=a₁ +a₂+a₃, S_n= а₁+а₂+а₃+…+а_n. Рассм.послед-ть частичных сумм ряда (1) S₁ ,S₂ ...,S_n. Если послед-ть частичных сумм { S_n } имеет конечный предел S,то числовой ряд (1) наз.сходящимся,а число S наз. Суммой ряда (1): S= _nили _n. Если же предел послед-ти{ S_n } не существует или бесконечен,то ряд (1) наз.расходящимся.Необход.условие сходимости. Если ряд _nсходится, то .

24. Критерии сходимости числового ряда.Осн. м-ды исследования знакопол. ряда. Теорема 4: для того что бы ряд сходился,необходимо и достаточно что бы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

Теорема 5: для сходимости ряда необходимо и достаточно, что бы для любого ε>0существовалл N(ε) такой что при всяком натуральном р и всех n>N(ε) имело место неравенство │S_n+p-Sn│=│ │<ε

Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто можно установить путём сравнения его с другими рядами, о которых известно сходятся они или нет.

Теорема 6:пусть даны два ряда с неотриц. членами (обозначимА)и ( обозначим В) и пусть a_n≤b_nтогда из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А расходимость ряда В.

Теорема 7: пусть даны два знакоположительных ряда А и В если сущ. Конечный отличный от нуля предел =A (0<А<∞), то ряды А и В одновременно сходятся или расходятся.

Теорема 8: пусть дан ряд с положительными членами и сущ предел =q тогда при q<1 ряд сходится а при q>1 расходится.

Теорема 9:если для ряда с неотриц членами сущ предел =q то при q<1 ряд сходится ,а при q>1 расходится.

Теорема 10: если члены знакоположительного ряда монотонно убывают и сущ положительная невозрастающая функция f(x) такая что f(n)=an при n≥1. То ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

25. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость.Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов.Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: тогда ряд сходится. Если, выполнены все условия, и ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность а-n существенна. Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым

26. Знакопеременные ряды. Сходимость.Числовой ряд _n,содер бесконечное множество положит и бесконеч множество отриц членов наз знакопеременным. Теорема 1Пусть дан знакопеременный ряд _n(1).Если сходится ряд _n(2) составленный из модулей членов данного ряда (1)сходится и знакопеременный ряд(1).Опр.Ряд (1)наз абсолютно сходящимся,если ряд (2)сходится.Если же ряд(1)сходится,а ряд(2)расходится,то ряд(1)наз условно сходящимся.Св-ва абсолютно сходящихся рядов:1).Если ряд(1)абсолютно сходится и имеет сумму S,то ряд,полученный из него перестановкой членов также сходится и имеет ту же сумму S,что и исходный ряд(1).2)Абсолютно сходящиеся ряды _nи _n с суммами S1 и S2 можно почленно складывать(вычислять).В итоге получится абсолютно сход ряд,сумма которого равна S1+S2, (S1-S2).Опр.Произведение 2 рядов _nи _nназ ряд вида(а1б1)+(а1б2+а2б1)+(а1б3+а2б2+а3б1)+…+( а1бн+а2бн-1+…+анб1)+…Опр. Произведение 2-х абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть бесконечно сход ряд,сумма которого= S1*S2.Теорема Римоно:Если ряд(1)сходится неабсолютна ,то какое бы ни взять число S,можно так переставить члены в этом ряду,чтобы преобразованный ряд имел своей суммой именно S.

27. Степенные ряды. Сходимость степенного ряда. Опр. Функциональный ряд вида ,(1), где , , наз-ся степенным рядом. Числа , , …, , … наз-ся коэффициентами степенного ряда (1). Если , то ряд (1) имеет вид , (2). Будем рассматривать только такие степенные ряды, т.к. полагая в (1) , получаем ряд вида (2).

Степенной ряд (2) всегда сходится в точке х=0. Если х≠0, то ряд (2) может сх-ся или расх-ся.

Т1 (Абеля). Если степенной ряд (2) сх-ся в т. х₀≠0, то во всех точках х, |х|<|х₀|, он схся абсолютно. Если в т. х₁≠0 степ.ряд (2) расх-ся, то он расходится во всех точках х, |х|>|х₁|.

Теор. Абеля дает ясное представление об области сходимости степенного ряда. Для наглядности воспользуемся следующим приемом: окрасим мысленно в зеленый цвет каждую точку сходимости ряда (2), а в красный цвет – каждую точку расходимости ряда (2). Очевидно, что т. х=0 будет всегда окрашена в зеленый цвет. Если степенной ряд сходится всюду на R, то вся числовая ось будет зеленой. Если степ.ряд везде расходится, то вся числовая ось, кроме т. х=0, будет красной. Если какая-нибудь точка х₀≠0 будет окрашена в зеленый, то зелеными будут все точки лежащие между х₀ их=0, а также между -х₀ их=0. Если какая либо точка х₁>0 будет красной, то будут красными все точки лежащие правее х₁. Если х₁<0 будет красной, то будут красными все точки лежащие левее х₁. Т.к. каждая точка числовой оси будет либо зел. либо красн., то идя от т. х=0 вправо по числовой оси сначала будем встречать только зел. точки, а затем – только красные, причем граничная или разделяющая эти разноцветные участки точка R может быть как красн., так и зел. цвета (в зависимости от того сходится ряд на границе или расх.) То же самое можно сказать, если идти налево от точки х=0 в частности в т. х=-R ряд может сходиться или расх-ся.

Опр. Число Rназ-ся радиусом сходимости ряда (2), интервалом (-R,R) – интервалом сходимости. Если ряд (2) сх-ся только в т. х=0, то R=0; если ряд сх-ся для всех х R, то R=+∞.

Подчеркнем, что в кажд. т. х (-R,R) ряд (2) будет сх-ся абсолютно, в точках х=±R может сх-ся или расх-ся.

Т2Если сущ-ет предел , то радиус сходимости R ряда (2) равен , т.е. .

Т3Если сущ-ет , то .

Сформулируем основные свойства степенных рядов (2) с интервалом сходимости (-R;R):

1. Степенной ряд (2) сх-ся равномерно на любом отрезке, содержащемся в (-R;R).

2. Сумма S(x) степенного ряда (2) явл-ся непрерывной ф-цией в интервале сходимости (-R;R).

3. Ст. ряды и , имеющие радиусы сход-сти соотв-но R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать, причем радиус сходится полученных т.о. рядов равен меньшему из чисел R₁ и R₂.

4. Ст. ряд (2) внутри интервала сх-сти (-R;R) можно почленно дифференцировать.

5. Ст. ряд (2) можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сх-сти (-R;R).

Отметим, что св-ва 1-5 справедливы и для ст. рядов вида (1).

28.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Для любой функции f(х), определённой в окрестности точки а и имеющей в ней производные до (n+1)-ого порядка включительно, справедлива формула Тейлора: (1), где R_n(x) – остаточный член формулы Тейлора. , , . Соотношение (1) запишем в виде (2), где P_n(x) – многочлен Тейлора: (3). Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки а и остаточный член R_n(x) стремится к нулю при n→∞, то из формулы Тейлора получим разложение функции f(x) по степеням (х-а), называемое рядом Тейлора: (4). Ряд Тейлора (4) можно составить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки а. такой ряд может оказаться расходящимся или сходящимся, но не к функции f(x).теорема1 Ряд Тейлора (4) функции f(x) сходится к f(x) в точке х из некоторой окрестности точки а тогда и только тогда, когда в этой точке х остаточный член формулы Тейлора (1) сходится к 0 при х→∞. отметим, что проверка условия теоремы 1 во многих случаях вызывает трудности, поэтому на практике часто используют достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора, которое выражается следующей теоремой. Теорема2. Если функция f(x) имеет производные любого порядка на интервале (а-δ;а+δ) и все её производные ограничены одной и той же константой М на (а-δ;а+δ), то ряд Тейлора (4) сходится к функции f(x) на (а-δ;а+δ).

29. Представление элементарных ф-ций рядом Маклорена. РядТейлора Если а=0, то он наз-ся рядом Маклорена. При разложении ф. f(x) в ряд Макл. (1) поступаем так: вычисляем значения ф. f(x) и ее производных f’(x), f”(x),…, f⁽ⁿ⁾(x),… . В точке х=0: записываем ряд (1) и находим его интервалом сходимости, определяем интервалом (-R;R), в кот.остаточный член при (если такой интервал сущ-ет, то на нем справедливо разложение (1)).

а) пусть f(x)=е^х, f⁽ⁿ⁾(x)= е^х, при х=0 f⁽ⁿ⁾(0)=1. Ряд Маклорена будет иметь вид .

б) пусть f(x)=sinx, f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x + ), , при х=0 f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f’’’(0)=-1, f⁽⁴⁾(0)=0, … Ряд Маклорена будет иметь вид . Тогда имеем .

в) аналогично .

г) разложим ф. f(x)=ln(1+x) в ряд Макл. , .

д) , . При х=1 имеем ;при х=-1 . Эти ряды сходятся условно.

е) разложение в ряд степенной ф. (1+х)^α,(α≠0). .

30.Понятие дифур-нияю Решение дифур-ний с разделяющимися переменными.Пусть x − независимая переменная, y= y(x) − искомая неизвестная функция. Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащие производную или производные неизвестной функции. Уравнения вида y' = f( x, y )называют дифференциальными уравнениями 1-го порядка, разрешенными относительно производной.Уравнения вида f(x,y,y’)=0 называют дифференциальными уравнениями 1-го порядка. Дифференциальные уравнения вида y ‘=g( y )*f (x) называют уравнениями с разделяющимися переменными. Решение уравнений с разделяющимися переменными осуществляется по следующей схеме: dy/dx=f (x)* g (y) ⇒dy/ g (y) =f(x)dx⇒ ∫dy /g(y)= ∫ f(x) dx .

31. Понятие диф. ур-ния. Решение однородныхдиф. ур-ний.При реш. различных задач матем., физ,. химии и др наук часто исп-сяур-ния,связывающие независимую переменную,искомую ф-цию и не производные. Такие ур-нияназ-с дифференциальными. Если искомая ф-ла зависит от 1 переменной,тодифф.ур. наз.обыкновенным. если искомая ф-ция зависит от неск.переменных,тодиф.ур. наз.ур-нием в частных производных. Наивысший порядок производной,входящий в диф.ур.,наз. порядком этого ур-ния.Диф.ур. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 наз.однородным,если ф. P(x,y)и Q(x,y) (1)-однородные ф-ции одной степени. Разделив ур.(1) относит.произодн. dy\dx, запишем dy\dx=f(x,y) (2),где f(x,y)-однородная ф-ция нулевой степени. Покажем,что с пом.заменыy=ux,где u=u(x),однор. ур-ние сводится к ур-нию с разделяющимися переменными. Пусть t=1\х. подст. t в 1,получ. (1\t^m)P(1;y\x)dx+ (1\t^m)Q(1;y\x)dx=0. Учит.,чтоdy\dx=u+x(dy\dx), имеем P(1;u)+Q(1,u)+xQ(1,u)(du\dx)=0. Получ. (Q(1,u)du)\(P(1,u)+uQ(1,u)=-dx\x –ур-ние с раздел.переменными. При делении перем. могли быть утеряны решения вида u=a, где а-кореньур-нияP(1;u)+uQ(1,u)=0.

32. Решение линейныхдифур-ний. Ур-ние вида y’+p(x)y=q(x) или dx/dy+p(y)x=q(y) (p и q непрерывные на некотором интервале I=(a,b) ф-ции) наз линейным, первое относительно y, , а второе – относит x, . Если q(x)Ξ0 (Ξ – равно тождественно)(q(y)Ξ0), то ур-ниеназыв линейным однородным, если q(x)≠0 (q(y)≠0) – линейным неоднородным. Решение линоднороднур-ния: y'+p(x)y=0(1). Имеем . Разделив переменные, получим Проинтегрировав, будем иметь , тогда (2). Т.к. y=0 также явл решением ур-ния (1), то фор-ла (2) будет давать все решения ур-ния (1), если считать параметр С произвольным. Решение линнеоднур-ния: y'+p(x)y=q(x)(3). Решение будем искать в виде y=C(x)y(4). Подставляя (4)в (3), имеем . (C(x)[y'+p(x)y]=0). Значит, C'(x)y=q(x), следовательно , отсюда следует, . Подставляя най денноеC(x) в (4), получим формулу Бернулли: . Описанный метод назыв методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.