3.3. Решение систем линейных уравнений

С помощью функций для работы с матрицами удобно решать системы линейных уравнений вида:

Такую систему в матричном виде можно записать как

АХ = В,

Решением этой системы будет Х = А^-1·В.

Решить систему уравнений можно и по формулам Крамера. Система n уравнений с n переменными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное, определяемое правилом Крамера: значение каждой переменной равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомой переменной столбцом свободных членов. Для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными формулы Крамера выглядят следующим образом:

Пример 3.6. Решить систему линейных уравнений:

Решением этой системы будет вектор-столбец Х = А^-1·В (рис. 3.6).

	A	B	C	D	E	F
1	Матрица А			Столбец В
2	1	-1	1		5
3	5	-1	-3		1
4	2	-2	1		8
5
6	Матрица А-1			Решение Х= А-1*В
7	1,75	0,25	-1		1
8	2,75	0,25	-2		-2
9	2	0	-1		2
10

Рис. 3.6

На рис. 3.7 показано решение данной системы уравнений по формулам Крамера.

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O
1	Матрица А				Матрица А1				Матрица А2				Матрица А3
2	1	-1	1		5	-1	1		1	5	1		1	-1	5
3	5	-1	-3		1	-1	-3		5	1	-3		5	-1	1
4	2	-2	1		8	-2	1		2	8	1		2	-2	8
5
6	|А|=		-4		|А1|=		-4		|А2|=		8		|А3|=		-8
7					Х1=		1		Х2=		-2		Х3=		2
8

Рис. 3.7

Определители матриц вычисляются с использованием функции МОПРЕД(массив), а х₁, x₂ и x₃ соответственно по формулам: =G6/C6, =K6/C6, =O6/C6.