МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕЖДУНАРОДНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА, ПРИРОДОПОЛЬЗОВАНИЯ И ОХРАНЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Е.В. ЕВДОКИМОВ

ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ

В ЗАДАЧАХ И РЕШЕНИЯХ

Томск-2001

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение	3
Тема 1. Нелимитированный рост численности популяции
Задача 1.1.
Тема 2. Плотностно-зависимый рост популяций. Логистическое уравнение Ферхюльста.
Задача 2.1.
Задача 2.2.
Тема 3. Влияние концентрации лимитирующего субстрата на скорость размножения. Уравнение Моно.
Задача 3.1
Задача 3.2
Задача 3.3
Тема 4. Лимтированный рост популяции. Хемостат. Экономический коэффициент и траты на поддержание
Задача 4.1
Задача 4.2
Задача 4.3
Задача 4.4
Задача 4.5
Тема 5. Ингибирование роста и размножения
Задача 5.1
Задача 5.2
Задача 5.3
Тема 6. Динамика конкуренции и отбора в популяциях
Задача 6.1
Задача 6.2
Тема 7. Динамика популяций с дискретным временем. Предельные циклы и детерминированный хаос
Задача 7.1
Задача 7.2
Задача 7.3

Введение

Тема 1. Нелимитированный рост численности популяции

Теория: Нелимитированный рост численности популяции при постоянных условиях среды описывается дифференциальным уравнением Мальтуса (Ризниченко, Рубин, 1993) :

, (1.1)

где x – численность (плотность) популяции, t – время, r – мальтузианский параметр, имеющий смысл удельной скорости роста. Размерность мальтузианского параметра – [время^-1]. Решением данного уравнения является выражение:

, (1.2)

где x₀ – начальная численность популяции.

Задача 1.1.

Условия: С целью изучения динамики эвтрификации водоемов, загрязненных минеральными удобрениями, в пяти прудах моделировали размножение синезеленых водорослей в нелимитированных условиях. Полученые данные об изменении численности популяции водорослей в каждом пруду представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Время, час t	Титр клеток водорослей, кл./мл
	Пруд 1 x1	Пруд 2 x2	Пруд 3 x3	Пруд 4 x4	Пруд 5 x5
0	135	171	60	252	106
24	245	270	113	371	201
48	374	491	186	710	275
72	545	693	269	1088	451
96	839	1163	447	1772	689
120	1544	1788	796	2534	1304
144	2392	3460	1024	4842	2161
168	3433	4704	2131	6478	3386
192	6586	8526	3107	10429	5326
216	10129	13198	4351	19953	8928

Вопросы: На основе этих данных определить для популяции водорослей в каждом пруду значение мальтузианского параметра r (удельной скорости размножения) и период удвоения T. Найти также соответствующие медианы по полученным выборкам r и T.

Решение: Нелимитированный рост численности популяции описывается экспоненциальной функцией Мальтуса:

, (1.3)

где x₀ – начальная численность популяции, r – мальтузианский параметр, t – время (см. рис.1.1).

Рис.1.1. Экспоненциальная зависимость численности популяции от времени при условии нелимитированного роста

Для обработки экспериментальных данных используем логарифмическую форму этого уравнения:

(1.4)

С этой целью каждый элемент 2-6 столбцов необходимо разделить на соответствующий начальный элемент и взять натуральный логарифм этого отношения (см. таблицу 1.2).

Далее, для каждого пруда на основе таблицы 1.2 следует построить график, где по оси абсциcc откладывается время, а по оси ординат – соответствующее значение ln (x_t/x₀), как это показано на рис.1.2. Экспериментальные данные должны сгруппироваться около прямой линии, тангенс угла которой и есть искомое значение мальтузианского параметра r .

Таблица 1.2

Время, час	ln (x1t/x10)	ln (x2t/x20)	ln (x3t/x30)	ln (x4t/x40)	ln (x5t/x50)
0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00
24,00	0,60	0,46	0,63	0,39	0,64
48,00	1,02	1,06	1,13	1,04	0,95
72,00	1,40	1,40	1,50	1,46	1,45
96,00	1,83	1,92	2,01	1,95	1,87
120,00	2,44	2,35	2,59	2,31	2,51
144,00	2,87	3,01	2,84	2,96	3,01
168,00	3,24	3,31	3,57	3,25	3,46
192,00	3,89	3,91	3,95	3,72	3,92
216,00	4,32	4,35	4,28	4,37	4,43

Рис.1.2. Линеаризация экспоненциальной зависимости, представленной на рис.1.1, и определение мальтузианского параметра r .

Значение периода удвоения T находим по формуле:

(1.5)

Результаты обработки данных в этой задаче представлены в таблице 1.3.

Таблица 1.3

	Пруд 1	Пруд 2	Пруд 3	Пруд 4	Пруд 5
r , час-1	0.0197	0.0201	0.0198	0.0198	0.0204
T, час	35.19	34.48	35	35	33.98

Медиану определяем обычным способом как срединное значение в выборке:

Ме(r)= 0.0198 час^-1, Ме(T)= 35 час.