Билет №8 Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

Теорема. Пусть в точке x⁽⁰⁾ непрерывны все частные производные

функции f. Тогда f дифференцируема в точке x⁽⁰⁾.

Доказательство ради простоты записи проведем для случая функции двух переменных (n = 2). Непревность частных производных функции в точке включает предположение об их существовании в некоторой окрестности U_δ((x₀,y₀)).

Считая (Δx)² + (Δy)² < δ², рассмотрим приращение функции

.

Правая часть представляет собой сумму приращений функции по одной переменной при фиксированной другой. Применяя по соответствующей переменной теорему Лагранжа о конечных приращениях, имеем

.

Но производные непрерывны в точке (x₀,y₀). Поэтому

где при . Подставляя полученные выражения в Δf(x₀,y₀) имеем

.

Справедливо

Следовательно функция f дифференцируема в точке (x₀,y₀).

БИЛЕТ № 10

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимые условия, достаточные условия.

Определение:

пусть функция f определена на некоторой окрестности точки x⁽⁰⁾. Точка x⁽⁰⁾ называется точкой минимума функции f, если

Теорема 1 (необходимые условия экстремума).

Пусть функция f имеет в точке экстремума x⁽⁰⁾ частную производную . Тогда .

Доказательство: пусть для определенности i = 1. Рассмотрим функцию одной переменной x₁ . Она имеет экстремум в точке . Тогда по теореме Ферма

.

Определение:

Точка x⁽⁰⁾ называется стационарной точкой функции f, если f дифференцируема в точке x⁽⁰⁾ и df(x⁽⁰⁾) = 0.

Теорема 2 (необходимые условия экстремума).

Пусть функция f имеет экстремум в точке x⁽⁰⁾. Если она дифференцируема в точке x⁽⁰⁾, то x⁽⁰⁾ - стационарная точка функции f.

Теорема 3 (достаточные условия строгого экстремума)

Лемма: Пусть квадратичная форма положительно определенна. Тогда при некотором μ > 0

Доказательство: при | ξ | = 0 (2) - очевидно. При | ξ | > 0, деля обе части (2) на | ξ | ² и пологая , сводим доказательство (2) к доказательству неравенства

Последнее вытекает из теоремы Вейерштрасса, утверждающей, что непрерывная функция (A(η)) на компакте достигает своего наименьшего значения в некой точке η ^*

Теорема: Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки . Пусть второй дифференциал d²f(x⁽⁰⁾) функции f в точке x⁽⁰⁾

является положительно определенной (отрицательно) квадратичной формой. Тогда x⁽⁰⁾ - точка строгого минимума (максимума) функции f. Если же квадратичная форма d²f(x⁽⁰⁾) является неопределенной, то в точке x⁽⁰⁾ нет экстремума.

Доказательство: Напишем разложение функции f по формуле Тейлора в окрестности стационарной точки x⁽⁰⁾ с остаточным членом в форме Пеано:

Члены с первыми производными отсутствуют, так как x⁽⁰⁾ - стационарная точка. Запишем последнюю формулу в виде

Пусть сначала d²f(x⁽⁰⁾) (3) - положительно определенная форма. Тогда из (4) и (2) следует, что

Поскольку , то

Последнее значит, что x⁽⁰⁾ - точка строгого минимума функции f. Аналогично для отрицательно определенной формы.

Пусть теперь d²f(x⁽⁰⁾) (3) - неопределенная квадратичная форма. Значит такие, что A(ξ') < 0,A(ξ'') > 0. Полагая , получаем, что

α = A(η') < 0,β = A(η'') > 0, | η' | = 1 | η'' | = 1

Пусть . Тогда из (4)

при всех достаточно малых . Если же взять , то

Видно, что при любой сколь угодно малой окрестности U(x⁽⁰⁾) разность , принимает как отрицательные, так и положительные значения. Следовательно, точка x⁽⁰⁾ не является точкой экстремума функции f.

БИЛЕТ №11

Свойства интеграла с переменным верхним пределом (непрерывность, дифференцируемость). Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть f интегрируема на [a,b]. Тогда на [a,b] определена функция

называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1.

Пусть f интегрируема на [a,b]. Тогда функция F непрерывна на [a,b].

Доказательство.

Пусть . Тогда

Функция f ограничена на [a,b] (поскольку она интегрируема), так что при некотором M

.

Следовательно

при ,

что и требовалось показать.

Теорема 2.

Пусть функция f интегрируема на [a,b] и непрерывна в точке . Тогда функция F(x) имеет производную в точке x₀ и

Доказательство.

Вычитая из предпологаемый предел f(x₀), имеем при

.

Пусть . Тогда в силу непревности f в точке , если .

Следовательно, при | Δx | < δ (и )

Но это означает, что

при

что и требовалось показать.

Теорема 3.

Пусть функция f непрерывна на (a,b). Тогда она имеет на (a,b) первообразную

, где .

Доказательство.

следует из формулы (2) при , и формулы (3) при , если учесть, что в последнем случае F можно представить в виде .

Теорема 4.(основная теорема интегрального исчисления)

Пусть функция f непрерывна на отрезке [a,b] и Φ - её первообразная на этом отрезке. Тогда

.

Это формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство.

Функция является первоообразной для функции f на отрезке [a,b]. Поэтому

,

т.е.

.

Отсюда следует при x = a получаем 0 = Φ(a) + C. Выражая из последнего равентсва C и подставляя его в предшевствующее равентсво получаем, что

.

Последнее равенство при x = b совпадает с (4).