Билет №32 Неравенство Чебышева и закон больших чисел. Теорема.
Пусть
при
любом
.
Если Mξ существует, то при любом
.
Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда ξ задана в абсолютно непрерывном вероятностном пространстве. По определению математического ожидания имеем
.
Пусть
Ведем случайную величину
При
любом
имеем
.
Умножим обе части этого неравенства на
и
проинтегрируем по Ω. Получим, что
.
Отсюда следует утверждение теоремы,
так как
.
Неравенство Чебышева.
Если случайная величина ξ имеет дисперсию, то при любом
Доказательство.
Случайная величина
при
всех
,
и Mη = M(ξ − Mξ)2 = Dξ
конечно. Следовательно можно воспользоваться
неравенством
.
Таким образом,
Закон больших чисел.
Пусть
случайные величины
независимы,
одинаково распределены и имеют
математическое ожидание Mξk
= a,
.
Тогда при любом
.
Доказательство.
Характеристические функции
,
,
одинаковы. Поэтому можно положить
.
Из существования Mξk
следует, что верно разложнение
,
где
при
.
Подожим
Так как по теореме 7.8
.
Отсюда, используя теорему 7.6 (свойство 3), при получим
,
так
как
при
.
Таким образом, при любом t
последовательность
сходится
к функции eitα,
являющейся характеристической функцией
постоянной величины α.
Функция
распределения Fα(x) постоянной
α равна единице при x > α и нулю при
.
По теореме 7.10
при
любом
,
так как x = α - единственная точка
разрыва функции Fα(x). Пусть
задано
.
Тогда
.
Точки
и
являются
точками непрерывности функции Fα(x).
Следовательно, при
Отсюда из неравенства
следует утверждение теоремы.
Предельная теорема Пуассона.
Если
и
так,
что
,
,
то
при
любом постоянном
.
Доказательство.
Положив np = λn, представим вероятность P(μn = m) в виде
.
Отсюда при получим утверждение теоремы.
Билет №33 Дифференцируемость функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.
Определение.
Говорят, что функция
дифференцируема
в точке
,
если справедливо представление
где A не зависит от Δz, а функция α(Δz) является o(Δz).
Лемма
1. Функция
дифференцируема
в точке z0 тогда и только тогда,
когда существует производная
,
причем в формуле число
.
Доказательство. Распишем определение 1 через действительные и мнимые компоненты чисел и получим утверждение леммы 1.
Теорема
1. Для того, чтобы функция
была
дифференцируема в точке
,
необходимо и достаточно, чтобы
1) функция u(x,y) и v(x,y) были дифференцируемы в точке .
2) в точке (x0,y0) были выполнены условия Коши-Римана
При этом
Доказательство. Пусть существует производная f'(z0), т.е. справедливы выражения
где .
Обозначим
и
распишем (5) через равенства действительных
и мнимых частей, т.е.
Δu = aΔx − bΔy + α1(Δx,Δy),
Δv = bΔx + aΔy + α2(Δx,Δy),
Из
выражения (4) и того, что
и
,
т.е.
Откуда равенства (8) означают дифференцируемость по определению функции u(x,y) и v(x,y) в точке , причем
убеждаемся в выполнении условий Коши-Римана.
Достаточность. Пусть функции u(x0,y0),v(x0,y0) дифференцируемы в точке (x0,y0) и выполнены условия Коши - Римана.
Тогда
Получаем утверждение теоремы.