- •4. Пусть система находится в устойчивом состоянии (см. Рис.4). Введем следующие обозначения:
- •7. Последовательность моментов окончания обслуживания вызовов образует поток освобождений.
- •9. Распределение Эрланга иногда называют усеченным распределением Пуассона. Необходимо вывести это распределение на примере рассмотрения модели m/m/s(0).
- •21. Если процесс нагрузки порта является пульсирующим процессом, то данный процесс называется пульсирующей нагрузкой и обозначается символами gi (произвольный независимый).
- •33. Марковский пульсирующий процесс фазного типа ph-mrp вводится для анализа умных систем с непульсирующей загрузкой порта.
7. Последовательность моментов окончания обслуживания вызовов образует поток освобождений.
Детерминированное время задается последовательностью величин hk, характеризующих длительность обслуживания k-го вызова или k-й группы вызовов. При hk = h время обслуживания называется постоянным.
Случайное время обслуживания задается законом или плотностью распределения. Давайте рассмотрим простейший случай. Это предполагает, что вызов завершается в случайном порядке. Взяв момент порождения вызова за начало, определим вероятность того, что данный вызов завершится в интервале (t, t+t], как t, которая не зависит от времени t в силу допущения о случайном завершении. Дополнительная функция распределения H(t) (вероятность того, что время обслуживания больше чем t) эквивалентна вероятности того, что вызов не завершится в интервале времени (0, t]. Разделим интервал (0, t] на достаточно большое число n отрезков и положим t = t / n. Поскольку последняя вероятность равна (1 – t)n, то, устремляя n , определим искомую функцию распределения как
(9)
Таким образом, время обслуживания распределено с математическим ожиданием –1 , где называется ритмом обслуживания или темпом освобождений. Это часто относят к показательному времени обслуживания в малом, и тогда транспортная нагрузка (5) выражается как a = / .
Допущение о показательном времени обслуживания достаточно хорошо согласуется с продолжительностью телефонных переговоров (см. рис.7). В дальнейшем для упрощения теоретического анализа как мы увидим позже, это будет широко использоваться в теории телетрафика.
8. Система, соединяющая свои входы и выходы, называется системой коммутации. Если любой вход системы может быть соединен с любым свободным выходом этой же системы, то такая система называется полнодоступной системой, в противном случае – неполнодоступной системой.
Перегрузкой называется условие, когда соединение не может быть выполнено потому, что заняты выходы или промежуточные линии коммутационной системы. При перегрузках, если какой-либо вызов блокируется, то такая система называется системой с потерями или системой без запаздывания. Если вызов может ожидать установления соединения, то такая система называется системой с ожиданием или системой с запаздыванием. Графическое представление указанных систем приведено на рис. 8.
Полнодоступные системы описываются следующим образом:
входной поток описывает порядок порождения или поступления вызовов. Хотя Пуассоновский поток был рассмотрен ранее, существуют различные другие потоки, которые будут обсуждены позднее;
сервисный механизм описывает количество выходов (линий, серверов и т.д.), распределение времени удержания (обслуживания) и т.д. Как правило, экспоненциальное распределение применяется к телефонному трафику. Однако другие распределения (например, фиксированное или детерминированное) могут потребоваться для передачи пакетов данных;
дисциплина обслуживания специфицирует принципы обработки вызовов в течение перегрузки (потери или запаздывание). В системах с запаздыванием порядок обслуживания ожидающих вызовов должен быть специфицирован, такой как первый пришел – первым обслужен (FIFO), последний пришел – первым обслужен (LIFO), случайный порядок обслуживания (RSO) и т.д.
Для классификации полнодоступных систем используются обозначения по Кендаллу:
A/B/s, (10)
где A – представляет распределение входного потока;
B – распределение сервисного времени (обслуживания);
s – количество серверов.
Вместо позиций A и B используются следующие символы, указанные в табл.1.
Таблица 1 |
|
Обозначение |
Вид распределения |
M |
Экспоненциальный (Марковский) |
Ek |
k-фазный Эрланговый (свернутый из k экспоненциальных с идентичными математическими ожиданиями) |
Hn |
Гиперэкспоненциальный порядка n (альтернативный n-экспоненциальным) |
D |
Детерминированный (фиксированный) |
G |
Общий (произвольный) |
GI |
Произвольный независимый (пульсирующий) |
MMPP |
Марковская модуляция Пуассоновского процесса (непульсирующий бурлящий) |
Например, система с Пуассоновским поступлением, экспоненциальным сервисным временем и с s серверами выражается как M/M/s. При конечном числе входов (источников) мы получим M(n)/M/s, а при ожидающем комплекте из m позиций модель СМО запишется как M/M/s(m) или M/M/s + m. Поэтому система с потерями выражается как M/M/s(0) или M/M/s/s. Без таких дополнительных символов обозначают систему с запаздыванием, обслуживающую бесконечную очередь по порядку FIFO.