20. Теорема Крамера
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.
Пример
Система линейных уравнений:
Определители:
Решение:
21. Элементарное преобразование функций слау. Метод Гаусса. Решение слау.
Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц. Таким образом, элементарные преобразования не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.
Элементарными преобразованиями строк называют:
перестановка местами любых двух строк матрицы;
умножение любой строки матрицы на константу , ;
прибавление к любой строке матрицы другой строки.
Пример
Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:
Чтобы ее решить, нужно сделать нули под главной диагональю системы
Обнулим коэффициенты
при
во
второй и третьей строчках. Для этого
вычтем из них первую строчку, умноженную
на
и
,
соответственно:
Теперь обнулим
коэффициент при
в
третьей строке, вычтя из неё вторую
строку, умноженную на
:
В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.
На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:
из третьего;
из второго, подставив полученное
из первого, подставив полученные
и
.
Таким образом исходная система решена.
СЛАУ имеет несколько решений:
Пусть
—
решения однородной системы ,
—
произвольные константы. Тогда
также
является решением рассматриваемой
системы.
- Для однородной системы
Теорема
(о структуре общего решения).
Пусть
,
тогда:
если
,
где
—
число переменных системы, то существует
только тривиальное решение (Нулевое
решение).если
,
то существует
линейно
независимых решений рассматриваемой
системы:
,
причём её общее решение имеет вид:
,
где
—
некоторые константы.
- Для неоднородной системы
Теорема (об общем решении неоднородных
систем).
Пусть
тогда:
если , где — число переменных системы, то решение существует и оно единственно;
если , то общее решение системы имеет вид
,
где
—
общее решение системы, называемое общим
однородным решением,
—
частное решение системы, называемое
частным неоднородным решением.
22. Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
23. СЛАУ Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными
в линейной алгебре — это система уравнений вида
|
|
ОСЛАУ Однородной системой линейных алгебраических уравнений называется система вида:
24. Теорема о решении ОСЛАУ Пусть — решения однородной системы (1), — произвольные константы. Тогда также является решением рассматриваемой системы. Теорема (о структуре общего решения). Пусть , тогда:
если , где — число переменных системы, то существует только тривиальное решение;
если , то существует линейно независимых решений рассматриваемой системы: , причём её общее решение имеет вид: , где — некоторые константы.
25. Определение ФСР ОСЛАУ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ - Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы. (Базис) - множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества— базисных векторов.