Linal

Вопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра" для потока К-3 (лектор - доцент В.П.Трифоненков, 2011)

1. Определение линейного оператора (ЛО). Примеры. Сумма ЛО, умножение ЛО на число, произведение ЛО и свойства этих операций. Линейное пространство ЛО.

2. Матрица линейного оператора в базисе. Теорема о взаимнооднозначном соответствии между множеством линейных операторов и множеством матриц. Свойства матриц линейных операторов.

3. Обратный оператор. Свойства обратного оператора. Критерии обратимости линейного оператора.

4. Теорема о законе преобразования матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Определение характеристического многочлена линейного оператора. Инвариантность характеристического многочлена.

5. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Свойства собственных значений и собственных векторов.

6. Определение диагонализуемого линейного оператора. Критерий диагонализуемости линейного оператора. Достаточное условие диагонализуемости.

7. Определение билинейной формы. Матрица билинейной формы в базисе. Общий вид билинейной формы в n - мерном линейном пространстве.

8. Теорема о законе преобразования матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Симметричные билинейные формы, их свойства.

9. Определение квадратичной формы. Полярная билинейная форма, ее выражение через значения квадратичной формы. Матрица квадратичной формы в базисе, закон ее преобразования при переходе к новому базису.

10. Определение канонического вида и канонического базиса квадратичной формы. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду с помощью метода Лагранжа.

11. Классификация квадратичных форм по их знаковой характеристике. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра (без доказательства). Необходимое условие знакоопределенности квадратичной формы.

12. Нормальный вид квадратичной формы (КФ). Ранг КФ. Теорема об инерции КФ. Индексы инерции КФ.

13. Индексы инерции квадратичной формы. Теорема о взаимосвязи значений индексов инерции и знаковой характеристики квадратичной формы.

14. Определение евклидова пространства. Примеры евклидовых пространств. Общий вид скалярного произведения.

15. Матрица Грама базиса и общий вид скалярного произведения в евклидовом пространстве. Закон преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису. Свойства матрицы Грама.

16. Норма в евклидовом пространстве. Свойства нормы. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема Пифагора.

17. Ортонормированный базис (ОНБ) в евклидовом пространстве. Вид скалярного произведения в ОНБ. Теорема Шмидта об ортогонализации базиса.

18. Ортогональное дополнение подпространства евклидова пространства.

Теорема о представлении евклидова пространства в виде прямой суммы подпространства и его ортогонального дополнения.

Определение линейной формы. Примеры. Теорема о представлении линейной формы евклидовом пространстве

19. .Теорема о представлении билинейной формы в евклидовом пространстве.

20. Определение сопряженного оператора. Теорема о существовании и единственности сопряженного оператора, его свойства, свойство его матрицы в ОНБ.

21. Основные классы линейных операторов в евклидовом пространстве. Матричные критерии.

22. Нормальные операторы в евклидовом пространстве, их свойства.

23. Самосопряженные операторы в евклидовом пространстве, их свойства.

24. Теорема о существовании собственного вектора у самосопряженного оператора в евклидовом пространстве

25. Ортогональные операторы в евклидовом пространстве, их свойства.

26. Ортогональные матрицы, их свойства. Примеры.

27. Спектральная теорема для самосопряженных операторов и симметричных матриц.

28. Теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.

29. Теорема об одновременном приведении пары квадратичных форм к каноническому виду.

30. Образ и ядро линейного оператора. Примеры. Теорема о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора.

31. Многочлен от линейного оператора (ЛО). Многочлен, аннулирующий ЛО. Теорема об аннулирующем свойстве характеристического многочлена Л О.

32. Минимальный аннулирующий многочлен линейного оператора и его свойства.

33. Теорема о представлении линейного пространства в виде прямой суммы подпространств, соответствующем разложению аннулирующего многочлена линейного оператора на взаимно простые множители. Следствие о разложении линейного пространства в прямую сумму.